Упражнения
Проинтегрировать ДУ
14 =tgx
+ cosx;15 - =x;
16 +
;17 + =
18 +
=
arcsinx+x;19 x - y = x² cosx
20 -2xy= x
21 (1+x²) + y = arctgx
Проинтегрировать ДУ, приняв за неизвестную функцию х.
22 (x+y²) = y;
23 (2xy+3)dy - y²dx = 0;
24 (
+2x)
=y;25 ydx + (x²+xy²)dy = 0.
11.6 Дифференциальные уравнения второго порядка.
ДУ второго порядка называется уравнение вида
F
(x,
y,
,
)
= 0
(11.41)
Решением ДУ (2.1) называется любая дважды дифференцируемая функция у = φ(x), которая обращает данное уравнение в тождество
F (x, φ(x), φ’(x), φ”(x)) = 0
Задача Коши:
найти решение ДУ (2.1), удовлетворяющее
начальным условиям y
= y0;
=
при x
= x0.
Общим решением ДУ (2.1) называется функция у = φ(x, С1, С2), если:
эта функция является решением ДУ (2.1), и
при соответствующих значениях С1 и С2 из этой функции
получается любое решение задачи Коши, поставленной для данного уравнения.
Частным решением ДУ(2.1) называется всякое решение, получаемое из общего при конкретных значениях С1 и С2 .
В некоторых случаях решение ДУ второго порядка может быть сведено к последовательному решению двух ДУ первого порядка.
11.7. Ду второго порядка, допускающее понижение порядка
1) = f(x) (11.42)
Интегрирование :
=
+С1
= f1(x)
+ С1;
y
=
+С1)dx
=
+С1)dx
= f2(x)
+ С1x
+ С2,
где С1, С2 – произвольные постоянные f1(x) – одна из первообразных функции f(x); f2(x) -одна из первообразных функции f1(x).
Пример
11.26.Найти
частное решение ДУ у” = x
,
удовлетворяющее
начальным условиям у=1,
=0,
при x
= 0.
Решение Найдем сначала общее решение данного ДУ
y’=
x
dx
=
u=x;
dv=
dx;
du=dx;
v=
dx = -
;
применяем формулу интегрирования по частям:
udv
= uv-
vdu
=
-x
-
(-
)dx
= -x - + С1 (11.43)
Находим неизвестную функцию.
y = (- x + С1)dx = (- x ) dx - - + С1 dx = -( - x - + С2) +
+ + С1x= x +2 + С1x+ С2 , или
у = (x+2) + С1x+ С2 - (11.44)
общее решение данного ДУ.
Подставляем начальные условия в (11.43) и (11.44), получаем систему линейных уравнений относительно С1 и С2 :
(11.45)
После подставки (2.5) в (2.4) искомое частное решение имеет вид:
у = (x+2) + x – 1.
2) F (x, y’, ) = 0 (11.46)
Интегрирование:
Заменой
= Z
исходное уравнение (11.46) преобразуем к
виду F
(x,
z,
)
= 0.
Пример
11.27. Найти общее решение ДУ x + + x = 0.
Решение.
Полагаем
= z,
тогда
=
z’,
данное ДУ преобразуется к виду
xz’+ z + x = 0. – линейное относительно Z, интегрируя его, получим:
zx
= С1
-
,
возвращаясь к переменной y,
имеем ДУ с разделяющимися переменными
x= С1 - , или
y
= C1
- общее решение исходного ДУ.
3) F (y, , = 0 (11.47)
Интегрирование:
Замена
=
z,
тогда
=
z
;ДУ
(2.7) приводится к виду:
F ( y, z, z ) = 0 (11.48)
Пример
11.28. Найти частное решение ДУ
y
–
(
)²
=
, (11.49)
при начальных условиях y=1, =0 при x = 0.
Решение. Пусть = z(y), z , ДУ (2.9) преобразуется к виду
yz – z² = ДУ Бернулли относительно z. Интегрируем его, получаем:
z
=
(11.50)
Используя начальные условия y’= z = 0 при y = 1, найдем С1 = -1.
Следовательно,
z
=
, или
=
,
Интегрируем последнее ДУ, получаем:
arccos
.
Вновь используем начальные условия: y=1 при х=0, находим С2 = 0, тогда
= cos
x,
y
=
- частное
решение ДУ (2.9)
4) F (x, y, , ) = 0 (11.51)
однородное относительно y, ,
Интегрирование : Замена / y = z.
Пример
11.29. Решить ДУ
3( )² = 4 y + y² (2.12)
Решение. Разделить обе части ДУ (2.12) на y² 0
.
Полагаем,
/
y
= z,
тогда
,
или
.
В результате получаем
уравнение: 3z
- 4
=1+z²
ДУ с разделяющимися
переменными, разделяем переменные,
.
Интегрируем последнее ДУ: arctg
z
= C1
-
x,
или z
= tg(C1
-
),
или
/ y = tg(C1 - ). – общее решение исходного ДУ
Вновь интегрируем полученное ДУ:
ln
y
= 4ln
cos(C1
-
)
+ ln
C2,
или y
= C2
cos
(C1
-
).