11.5 Уравнение Бернулли

Уравнением Бернулли называется ДУ вида

+ P(x) y = Q(x) ; m 0; m 1 (11.25)

ДУ (11.25)- нелинейное Однако его можно преобразовать в линейное заменой:

; (11.26)

Подставляя (11.26) в (11.25), получаем

+ P(x) Z = Q(x); (11.27)

Уравнение Бернулли можно интегрировать аналогично линейным, не приводя к виду (11.27)

Примеры

Проинтегрировать ДУ

11.13 ; (1.28)

Решение Имеем ДУ Бернулли вида (11.25), при m = 2. Интегрируем его двумя способами.

1способ Лагранжа. Интегрируем соответствующее (11.28) однородное уравнение

; (11.29)

Имеем ДУ с разделяющимися переменными:

; ; ; ;

откуда

у = С(х-1); (11.30)

Варьируя произвольную постоянную, полагаем С=С(х) и общее решение исходного уравнения находим в виде:

у = С(х) (х-1); (11.31)

Производная:

= (х-1)+ C; (11.32)

Выражения (11.31) и (11.32) подставляем в исходное уравнение (11.28)

; или

+ С – С = С²(х-1);

= C²; ; ;

Интегрируем:

; ;

С(х) = х + ; (11.33)

=const. Подставляем (11.33) в (11.31), получаем общее решение данного ДУ

; (11.34)

2способ Бернулли. Общее решение ДУ (11.26) находим в виде произведения двух неизвестных функций

y= u(x)v(x); (11.35)

Дифференцируем:

= v+u (11.36)

Выражения (11.35) и (11.36) подставляем в (11.26):

v+u - ;

группируем члены, вынося общий множитель u(x) за скобку,

v+u ; (11.37)

выражения в скобке приравниваем к нулю, получаем ДУ с разделяющимися переменными

, или ,

интегрируем

; ,

откуда

v= (x-1); C=1 (11.38)

Одну из неизвестных в (11.35) функций нашли. Подставляем (11.36) в (11.37), получаем

(x-1) = , или = u².

Вновь получили ДУ с разделяющимися переменными:

; ; ;

u = , = const. (11.39)

Подставляем (11.36) и (11.39) в (11.35), получаем общее решение

у = (11.40)

Сравниваем (11.34) и (11.40)- общие решения получились одинаковые.