Корені многочлена План

1. Означення і ознака кореня многочлена. Кратні корені.

2. Теорема про найбільшу можливу кількість коренів многочлена.

3. Існування кореня многочлена над довільним полем. Формули Вієта.

4. Про алгебраїчну і функціональну рівність многочленів. Приклади.

1. Означення і ознака кореня многочлена. Кратні корені.

Означення 1: Коренем многочлена f(x)є P[x] називається елемент α поля Р такий, що f(α)=0.

Корінь многочлена f(x) називають також нулем многочлена f(x).

Теорема1: Елемент α є Р є коренем многочлена f(x)є P[x] тоді і тільки тоді, коли лінійний двочлен х- α є дільником многочлена с

Доведення:

За т. Безу остача від ділення f(x) на х- α дорівнює f(α). Отже, f(x) х- α тоді і тільки тоді, коли f(α)=0, тобто α – корінь многочлена f(x).

Ця ознака – необхідна і достатня умова того, щоб α – був коренем многочлена.

Означення 2: Елемент α є Р називається коренем многочлена f(x)є P[x], якщо f(x) ділиться на х-α .

Означення 3: Елемент α є Р називається k-кратним коренем (або коренем k-ї кратності) многочлена f(x)є P[x], якщо f(x) ділиться на (х але не ділиться на .

Отже, кратність кореня α многочлена f(x) є найбільше з натуральних чисел m таких, що є дільником f(x) у кільці P[x].

Корені кратності 1 називаються простими, корені кратності 2 і більше- кратними, двократні і трикратні корені іноді називають подвійними та потрійними.

Якщо f(x)-нуль-многочлен, то будь-який елемент α є Р є його коренем, причому кратність цього кореня не можна визначити, бо нуль-многочлен ділиться на при довільному натуральному m. α є Р k-кратним коренем многочлена, f(x)є P[x] тоді і тільки тоді , коли f(x)=g(x), (1) де g(x)-многочлен над полем Р для якого α не є коренем.

Приклад 1:

f(x)=

«1» - подвійний , «2» - потрійний корінь многочлена.

Приклад 2:

Многочлен f(x)= над полем Q має n-кратний корінь α=0.

Теорема (про найбільшу можливу кількість коренів многочлена).

Нехай f(x)є P[x], є Р є коренем , f(x) кратності , є -коренем f(x) кратності …, є Р- коренем f(x) кратності , причому при і . Тоді, згідно з (1) можна записати

f(x)= (2)

де не ділиться на .

Оскільки f(x) має ділитись на (але не на ( ), а взаємно простий з то з (2) видно, що ділиться на (але не на ( ), тобто

f(x)= , де - многочлен, який не має своїми коренями і .

Продовжуючи міркувати в такий же спосіб (тобто, по суті, застосовуючи метод математичної індукції ),дістанемо :

f(x)= … , (3)

де - многочлен, для якого жодний ж елементів не є коренем. З (3) видно, що deg f = + …+ deg m , тобто

+ …+ = n

Отже, число коренів многочлена f(x) у полі Р не може перевищувати степеня цього многочлена, коли навіть кожний корінь ураховували стільки разів, яка кратність.

Теорема 2: Число усіх можливих коренів многочлена f(x) над полем Р не перевищує його степеня.

3.Існування кореня многочлена над довільним полем. Формули Вієта.

Наведемо приклади многочленів над полем Р, які не мають жодного корення у цьому полі.

над полем Q не має рац. коренів. Многочлен над полем R не має дійсних коренів. Але кожній з цих многочленів має корені в деякому розширенні розглядуваного поля, а саме: має корені корені .

Теорема 3 (Кронекера): Якщо довільний многочлен над полем Р, для якого то існує розширення К поля Р, в якому є корінь .

Теорема 4: Для будь-якого многочлена степеня існує таке розширення L поля Р, в якому розкладається на лінійні множники.

Означення 1: Поле L, в якому многочлен розкладається на лінійні многочлени, називають полем розкладу цього многочлена.

Приклад 1.

не розкладається на множники в.

в кінці многочленів над полем чисел виду в кінці многочленів над полем R дійсних чисел над полем дійсних чисел, всі множники лінійні, тому С поле розкладу.

Означення 2: Поле Р називається алгебраїчно замкнутим, якщо воно є полем розкладу для будь-якого многочлена ненульового степеня.

Приклад: поле С комплексних чисел. Твердження про алгебраїчну замкненість цього поля основна теорема теорії многочленів.

Наслідок 1: Многочлен n-го степеня має у полі розкладу n коренів.

Наслідок 2: У полі розкладу многочлен має канонічний розклад виду , де різні корені многочлена .

Теорема 5 (Вієта): Якщо корені многочлена , то

,

, (3)

……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………….

Символ cлід тут розмістити так, що сума береться по всіх комбінаціях з n індексів 1,2,3,…, n по k.

Для доведення формул (3) досить виконати множення у правій частині рівності: