Лекція №1

Кільце многочленів та його властивості.

План

1. Кільце многочленів К[x].

2. Подільність в К[x].Теорема про ділення з остачею в К[x] , де К – поле.

3. Ділення многочлена на лінійний двочлен . Схема Горнера. Теорема Безу . Розклад многочлена за степенями лінійного двочлена.

1.Кільце многочленів к[X].

З курсу математичного аналізу відомо,що многочленом від однієї змінної є ціла раціональна функція виду:

(1)

задана на множині дійсних чисел,де коефіцієнти – довільні задані дійсні числа.

Найпростіші типи многочленів лінійна функція та квадратний тричлен відомі зі школи.

В алгебрі многочлени зустрічались у зв’язку з розв’язуванням алгебраїчних рівнянь вищих степенів з одним невідомим,тобто рівнянь виду:

(2)

ліва частина яких є многочлен від однієї змінної. На відміну від аналізу в алгебрі многочлени вважалися цілими раціональними функціями комплексної змінної ,тобто виразами виду (1),в яких коефіцієнти є комплексні числа ,а змінна може набувати довільних комплексних значень . Це важливо для розв’язування рівнянь 3-го ,4-го і вищих степенів.

Означення многочлена

Вираз виду :

Повністю визначається коефіцієнтами .

Їх вибирають так щоб над ними можна було виконувати операції додавання та множення за тими правилами ,що і в елементарній математиці , і ці дії мали властивості:

• Асоціативність;

• Дистрибутивність;

• Комутативність.

Коефіцієнти многочленів повинні належати деякому комутативному кільцю К,без дільників нуля ( ) – області цілісності К.

Означення 1.

Многочленом(поліномом)від однієї змінної над областю цілісності К називається вираз виду (3) , де довільне ціле невід’ємне число - елементи К, а деякі символи; називається степенем змінної (або невідомого ) , а м коефіцієнтом многочлена (3) або коефіцієнтом при ( .

Многочлени від однієї змінної позначатимемо : . Сукупність всіх многочленів від над областю цілісності К-символом К[ ].

Означення 2.

Вираз називається членом або членом го степеня многочлена.

(4)

нульовим або вільним членом причому записи рівнозначні. Якщо (тобто є нульовим елементом області цілісності К) ,то кажуть ,що член многочлена дорівнює нулю або його немає.

У виразі для многочлена (4) члени, які дорівнюють нулю можна не писати. Так многочлен:

(5)

Можна записати коротше :

Означення 3.

Відмінний від нуля член многочлена ,степінь якого більший за степінь усіх інших відмінних від нуля членів цього многочлена ,називається старшим членом ,його коефіцієнт старшим коефіцієнтом ,а його степінь – степенем многочлена .

Степінь многочлена позначають deg f.

Будь-який многочлен записуватимемо так,щоб запис починався зі старшого члена ,тобто не включати у запис рівних нулю членів ,степінь яких більший за deg f . Так многочлен (6) подаватимемо у будь-якому з виглядів :

Будь - який многочлен степеня подаватимемо у вигляді :

(7)

де ,а з решти коефіцієнтів частина або всі можуть дорівнювати нулю.

Таку форму запису називають канонічною . Вживають також назву «многочлен стандартного виду».

- лінійний двочлен.

Многочлени нульового степеня вважають константами ,цей многочлен називатимемо нуль многочленом: .

Нуль – многочлен немає ніякого степеня.