§21. Электрические колебания в колебательном контуре. Колебательные системы.

1. Свободные затухающие колебания. Колебательным контуром называется цепь, содержащая ёмкость С и индуктивность L. Реальный контур всегда имеет некоторое активное (омическое) сопротивление R (рис.150).

Если зарядить конденсатор, а затем замкнуть ключ Кл, то конденсатор будет разряжаться через катушку L, в цепи контура пойдёт ток i = dqdt, где q – заряд на конденсаторе. Чтобы определить зависимость тока от времени (или заряда на обкладках конденсатора), полагаем цепь квазистационарной и составим 2-е правило Кирхгофа для контура: iR = U_C + E. Здесь U_C = qC – напряжение на обкладках конденсатора, E  ЭДС индукция в катушке. При обходе по часовой стрелке на рис.150 получаем:

, или . (21.1)

Знак “минус” перед напряжением на конденсаторе qC ставится потому, что ход потенциала на конденсаторе при обходе по контуру противоположен ходу потенциала на резисторе. Обозначив RL = 2, 1CL =  , а в производных перейдя к точкам, получаем: . (21.2)

Это дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Вид его решения зависит от соотношения между коэффициентами n и ₀. Если ₀ > 2n, колебания периодические затухающие, если ₀ < 2n, то колебания апериодические.

а . Периодические затухающие колебания. Будем полагать, что затухание очень слабое, так что ₀ >> 2n. Уравнение (21.2) такое же, как уравнение затухающих колебаний материальной точки. Его подробное решение см.[2], §124, с.с.553-556. Опустив выкладки, запишем приближённое решение уравнения 21.2 для заряда, тока и напряжения.

q = q₀e^-ntcost, (21.3)

i = q₀  e^-ntcos(t + /2), (21.4)

. Здесь . (21.5)

Графики q(t), i(t) и u_C(t) показаны на рис.151. При малых затуханиях период колебаний в контуре определяется формулой Томсона, . (21.6)

Декремент затухания . (21.7)

Логарифмический декремент затухания . (21.8)

Величина  волновое сопротивление контура,  добротность. (21.9)

У колебательных контуров среднего качества Q  20  100.

В идеальном контуре, в котором отсутствует затухание, R = 0, колебания должны продолжаться бесконечно долго. При этом максимальная энергия конденсатора , а максимальная энергия поля катушки составляет . Когда конденсатор максимально заряжен, i = 0, , вся энергия колебаний заключена в электрическом поле. Когда конденсатор разряжен, u = 0, а ток максимален. Вся энергия контура заключена в магнитном поле катушки. Средние и максимальные энергии электрического и магнитного полей одинаковы, . Однако колебания в любом реальном контуре даже из сверхпроводящих материалов обязательно затухают. Это происходит потому, что контур с переменным током излучает электромагнитные волны, которые уносят запасённую в нём энергию. В дифференциальном уравнении эти потери не учтены.

б . Апериодические колебания происходят при n > ₀. Если n >> ₀ и в цепи контура нет внешних ЭДС, то колебания представляют собой простой разряд конденсатора на выскоомный резистор. Заряд, напряжение на конденсаторе и ток изменяются в этом случае по экспоненциальному закону (рис.152):

(21.10)

Здесь . Из равенства n = ₀ находим критическое сопротивление контура, разделяющее периодические колебания от апериодических. n = ₀, ,  . (21.11)

Если сопротивление резистора R больше удвоенного волнового сопротивления  периодические колебания в контуре не возникают.

2 . Вынужденные колебания возникают тогда, когда в контуре действует внешняя переменная ЭДС (рис.153). В отличие от подобного случая в цепи переменного тока, рассмотренного в §20, п.7, здесь полагаем, что диапазон частот, генерируемых внешним источником, много шире, а внутреннее сопротивление источника внешней ЭДС много больше.

Если в контуре действует периодическая ЭДС E =E_acost, то уравнение колебаний электрического заряда на обкладках конденсатора принимает вид: . (21.12)

Здесь те же обозначения: 2n = RL, .

Решение этого уравнения состоит из двух членов и при n << ₀ имеет вид: q = q₀e^ntcost + Bcos(t  ). (21.13)

Первый член описывает собственные затухающие колебания в контуре, рассмотренные в предыдущем пункте. Спустя некоторое время (не более нескольких секунд). Эти колебания практически исчезают. Остаётся лишь вторая часть, описывающие вынужденные колебания q = Bcos(t  ). (21.14)

Здесь B – амплитуда вынужденных колебаний,  - угол сдвига по фазе по отношению к собственным колебаниям. , . (21.15)

Дифференцируя (21.14) по времени, получаем ток в контуре.

i = =  Bsin(t  ) = Bcos(t   + 2). (21.16)

Величина В = i_a есть амплитудный ток. Он зависит от соотношения частот ₀ и . Если частота  изменения внешней ЭДС приближается к частоте ₀ собственных затухающих колебаний, то ток в контуре возрастает до некоторого максимального значения, называемого резонансным. . (21.17)

Р ассмотренная ситуация соответствует резонансу напряжений в цепи переменного тока, а формула амплитудного тока (21.17) в общем виде соответствует закону Ома для цепи переменного тока. Так как , n = R / 2L, то

. (21.18)

На рис.154 показаны амплитудные резонансные кривые – графики зависимости амплитудного тока i_a от частоты  внешней ЭДС. Чем больше добротность контура Q = R, тем уже его резонансная кривая, тем выше его избирательность (селективность). Поэтому с увеличением добротности Q ширина вынуждающих частот (  ₀), при которых в контуре раскачиваются значительные токи, становится уже. Этот интервал частот, близких к ₀, называется полосой пропускания контура. Сюда входят частоты от ₁ до ₂, где ₁ и ₂ – частоты, при которых энергия колебания в 2 раза меньше энергии колебаний в резонансе. Можно показать, что  = 2n.

Действительно, энергия амплитудного тока в резонансе

. (21.19)

Если при некоторой частоте , энергия амплитудного тока в 2 раза меньше, то есть

, (21.20)

то отсюда найдётся ₁. Чтобы равенство (21.20) выполнялось, должно быть

, или . (21.21)

Решение этого квадратного уравнения: . (21.22)

По условию, принятому вначале, затухание очень слабое, (R2L)² << (1LC). Поэтому первым слагаемым под корнем можно пренебречь. ₁ =  n  ₀. (21.23)

Значение ₁ =  n  ₀ < 0 и не имеет физического смысла. Остаётся ₁ = ₀  n. (21.24)

Полуширина полосы пропускания , (21.25)

а ширина полосы пропускания в 2 раза больше . (21.26)

3. Искровой колебательный контур. Реализовать гармоническую ЭДС частотой в тысячи и миллионы герц путём вращения рамки в магнитном поле практически невозможно. Поэтому для возбуждения в колебательном контуре незатухающих колебаний высокой частоты используются другие способы.

И сторически первым шагом в этом направлении следует рассматривать искровой колебательный контур, которой изобрёл в 1888 г. немецкий физик Генрих Герц (рис.155).

П осле включения источника постоянного напряжения конденсатор через дроссельные катушки заряжается, и напряжение между его обкладками увеличивается. Когда оно достигает значения напряжения пробоя, через разрядник проскакивает искра, замыкающая колебательный контур, и в контуре возникает цуг затухающих колебаний. Он обрывается, когда напряжение на искровом разряднике упадёт до напряжения гашения искры. Затем конденсатор снова заряжается, и всё повторяется в той же последовательности (рис.156).

Колебания, получаемые Герцем, имели частоту порядка 510⁸ Гц, что соответствует длине излучаемых его вибратором электромагнитных волн   60 см.

В 1891 г. серб Никола Тесла изобрёл высокочастотный трансформатор, т.н. трансформатор Тесла, позволяющий получать колебания с частотой до 10⁵ Гц напряжением до 710⁶ В. В качестве первичного контура в трансформаторе Тесла используется искровой генератор высокочастотных колебаний. В начале развития радиотехники трансформатор Тесла применялся на радиостанциях в качестве источника ВЧ колебаний, в настоящее время – в учебной практике в демонстрационных экспериментах.

Искровой колебательный контур представляет собой автоколебательную систему. Один из главных недостатков его в том, что энергия вводится слишком редко, раз в течение одного цуга, точнее – между цугами. Поэтому трудно обеспечить стабильность амплитуды ВЧ колебаний.

Наибольшее распространение получили автоколебательные генераторы незатухающих колебаний на основе ламповых триодов и, позднее, полупроводниковых транзисторов.

4 . Генератор ВЧ колебаний на ламповом триоде. В 1907 г. американец Ли де Форест изобретает важнейший радиотехнический элемент первой половины XX века – электронную лампу с тремя электродами – триод. Анод и катод в триоде разделены между собой третьим электродом – сеткой.

На рис.157 показана схема простейшего лампового генератора на триоде, позволяющего получать незатухающие ВЧ колебания.

Вследствие тепловых флуктуаций электронов контуре C–L₁ самопроизвольно возникают слабые колебания. Но изменение напряжения на обкладках конденсатора С вызывает изменение потенциала сетки S триода. При положительном потенциале верхней (по рисунку) пластины конденсатора триод открывается, в анодной цепи течёт ток, который через индуктивную связь между катушками L₁ и L₂ усиливает ток в контуре.

Когда конденсатор перезарядится в обратном направлении, лампа заперта, через катушку L₂ тока нет. Затем весь процесс повторяется. Таким образом, ток в анодной цепи течёт лишь в те моменты времени, когда лампа открыта, и когда магнитное поле катушки L₂ подпитывает ток в контуре.

Управление электронной лампой с помощью цепи обратной связи может осуществляться разными способами. Наряду с рассмотренной индуктивной связью часто применяется также ёмкостная и автотрансформаторная обратная связь.

5 . Генератор на транзисторе типа р – n – p c индуктивной обратной связью (рис.158). При отсутствии колебаний ток эмиттера очень мал, а напряжение на эмиттерном p – n переходе близко к нулю, поскольку почти всё падение напряжения приходится на обратный n – p переход. Если в колебательном контуре возникли флуктуационные колебания, то в катушке L_Б индуцируется периодическая ЭДС, которая создаёт пульсирующий ток в цепи эмиттер – база. Это приводит к увеличению коллекторного тока, который, проходя по катушке L, увеличивает амплитуду колебаний тока в контуре.

Когда конденсатор С разряжается в обратном направлении, ЭДС в катушке L_Б запирает эмиттерный ток, что приводит к уменьшению коллекторного тока. Поэтому обратная перезарядка конденсатора происходит беспрепятственно при минимальном токе коллектора.

Модификаций схем генераторов на транзисторах очень много.

6. Токи высокой частоты, ТВЧ. С помощью генераторов электрических колебаний можно вырабатывать почти синусоидальные переменные токи частотой в тысячи и миллионы герц. Благодаря вытеснению быстропеременных токов к периферии проводника вследствие скин-эффекта (см. след. параграф), оказывается возможным с помощью ТВЧ закаливать поверхность стальных деталей, не уменьшая их пластичности в глубине. Использование токов частотой в сотни и тысячи герц эффективно при индукционном нагреве металлов в плавильных индукционных электропечах, поскольку вихревые токи Фуки увеличиваются с ростом частоты электромагнитного поля.

Т ВЧ широко используются при высокочастотной сварке и в многоканальной телефонной связи.

7. Релаксационный генератор. Наряду с генераторами почти синусоидальных колебаний, рассмотренными выше, в практике широко используются устройства, создающие периодические, но далеко не гармонические колебания, напр., пилообразные, П – образные и др. Рассмотрим генератор пилообразных колебаний на неоновой лампе (рис.159).

К онденсатор С, параллельно которому присоединена неоновая лампа НЛ, через резистор R с большим сопротивлением заряжается от источника постоянного тока ИТ, в результате напряжение на обкладках повышается. Когда напряжение на конденсаторе С достигает напряжения зажигания U_з, в лампе возникает газовый разряд, и конденсатор начинает быстро разряжаться. Когда напряжение на конденсаторе подает до напряжения гашения в лампе U_г, разряд в лампе обрывается, и конденсатор вновь начинает заряжаться. Возникают так называемые релаксационные колебания (рис.160).

Найдём период колебаний. В процессе заряда конденсатора 2-е правило Кирхгофа имеет вид iR + u = E, или . (21.27)

Здесь u – напряжение на конденсаторе, E  ЭДС источника тока. Перейдём к переменной u. Так как q = Cu, то , и . (21.28)

Если обозначить u  E = U, то и получаем уравнение с разделяющимися переменными: . Отсюда , . (21.29, 30)

Постоянную интегрирования U₀ найдём из начального условия: напряжение на конденсаторе в начале заряда равно нулю, u = 0. Тогда U₀ = U E (t = 0) = 0  E =  E, U = E exp(tCR). Вернувшись к прежней переменной, получаем:

u = U +E = E (1 – exp(tCR)). (21.31)

Если пренебречь временем разряда конденсатора по сравнению с его временем заряда, то период колебаний можно найти как время заряда конденсатора от u_Г до u_З. Пусть заряда до напряжения u_Г достигается к моменту времени t₁, а заряд напряжения u_З – к моменту времени t₂. Так как u_Г = E (1 – exp(t₁CR)), u_З= E (1 – exp(t₂CR), то выразив из этих уравнений моменты t₁ и t₂ и найдя их разность, получаем период релаксационных колебаний. . (21.32)