Оценивание ожидаемого уровня (прогнозирование) производительности труда

В результате выполненных расчетов имеем линейную модель производительности труда (по 15 наблюдениям):

= 8,585 + 1,093Х₁ + 0,126Х₂ – 0,59Х₃.

Значения факторов в оставшемся неиспользованном одном наблюдении подставим в полученную модель и найдем ожидаемую производительность труда

Проверим наличие автокорреляции остатков

X=			Y=	=		e		e^2
2,46	10,78	6,74	8,14	8,65546		-0,51546		0,2657
4,98	12,48	8,25	11,42	10,73312		0,68688		0,4718		1,4456
6,58	14,83	9,04	12,3	12,31192		-0,01192		0,0001		0,4883
9,28	15,36	9,27	14,3	15,1941		-0,8941		0,7994		0,7782
11,42	16,11	11,2	18,16	16,48892		1,67108		2,7925		6,5801
14,4	18,25	11,22	20,01	20,0039		0,0061		4E-05		2,7722
17,29	20,17	12,46	22,56	22,67299		-0,11299		0,0128		0,0142
22,62	21,66	14,69	24,94	27,37072		-2,43072		5,9084		5,3719
24,22	23,15	14,62	29,29	29,34856		-0,05856		0,0034		5,6271
26,78	23,9	15,4	31,59	31,78094		-0,19094		0,0365		0,0175
27,85	24,01	15,01	34,7	33,19441		1,50559		2,2668		2,8782
29,34	26,35	17,56	33,93	33,61332		0,31668		0,1003		1,4135
31,9	26,46	16,03	37,54	37,32796		0,21204		0,045		0,0109
34,25	26,68	16,29	39,55	39,77083		-0,22083		0,0488		0,1874
35,96	27,74	16,71	41,45	41,52562		-0,07562		0,0057		0,0211
40	30	15	?	47,235			сумма	12,757		27,606

4 – d = 4 – 2,164 = 1,836.

Из таблицы Дарбина-Уотсона при уровне значимости 0,05, задавшись количеством наблюдений n = 15 и числом независимых переменных к = 3, выбираем граничные значения:

d_L = 0,814, d_u = 1,750. Поскольку 4 – d = 1,836 > d_u = 1,750, то с вероятностью 0,95 можно утверждать, что автокорреляции остатков, полученных по модели, оцененной методом наименьших квадратов, не существует.

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,99623165
R-квадрат	0,9924775
Нормированный R-квадрат	0,99042591
Стандартная ошибка	1,07687098
Наблюдения	15
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	3	1682,978811	560,99294	483,760099	5,87723E-12
Остаток	11	12,75616224	1,1596511
Итого	14	1695,734973
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	8,58521979	4,474318741	1,918777	0,081321344	-1,26268935	18,4331289	-1,26268935	18,433129
Переменная X 1	1,09273987	0,207659066	5,2621824	0,000267518	0,635685352	1,5497944	0,635685352	1,5497944
Переменная X 2	0,1258561	0,556568208	0,2261288	0,825248093	-1,09914227	1,35085447	-1,09914227	1,3508545
Переменная X 3	-0,5899686	0,493528747	-1,1954088	0,257062604	-1,67621804	0,49628085	-1,67621804	0,4962809
ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки
1	8,6537003	-0,513700298
2	10,7305076	0,68949243
3	12,308578	-0,008578013
4	15,1899866	-0,88998663
5	16,4842026	1,675797355
6	19,9981002	0,011899847
7	22,666201	-0,106201043
8	27,3624002	-2,422400193
9	29,3396074	-0,049607383
10	31,771238	-0,181238031
11	33,1844016	1,515598379
12	33,6026674	0,327332614
13	37,3165776	0,22342241
14	39,7588128	-0,208812802
15	41,5130186	-0,063018643

Регрессионная статистика

1. R = 0,996 – коэффициент корреляции;

2. R² = 0,992 – не скорректированный коэффициент детерминации (без учета числа степеней свободы) оценивает долю вариации результата за счет введенных в модель факторов в общей вариации Y. Здесь эта доля составляет 99,2% и указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов, иными словами – на очень тесную связь факторов и результата.

3. = 0,99 – скорректированный коэффициент детерминации определяет тесноту связи с учетом числа степеней свободы общей и остаточной дисперсии. Он дает оценку, не зависящую от количества независимых переменных (факторов) модели, и поэтому может сравниваться по разным моделям с разным количеством факторов. Связь между не скорректированным и скорректированным коэффициентами детерминации определяется по формуле:

.

Оба коэффициента (R², ) указывают на весьма высокую (99%) детерминированность результата Y в модели факторами Х₁, Х₂, Х₃

4. s_e = 1,08 – стандартная ошибка остатков;

5. n = 15 – количество наблюдений.

Дисперсионный анализ включает пять столбцов:

1. (df ) – степени свободы, т.е. число свободы независимого варьирования признака. Число степеней свободы связано с числом единиц совокупности n и с числом определяемых по ней оценок. Для условий рассматриваемого примера число степеней свободы:

для регрессии р = 3; для остатка n – (р + 1) = 15 – (4 + 1) = 11; общее n – 1 = 15 – 1 = 14;

2. (SS) – суммы квадратов отклонений:

- регрессии (объясненная);

- остаточная (не объясненная);

- общая (зависимой переменной);

3. (MS) – дисперсия на одну степень свободы:

- регрессий (объясненная);

- остатков (не объясненная);

4. (F) – фактическое значение F-критерия:

= 483,76;

5. (Значимость F) – уровень значимости F-критерия  = 5,87E-12 = 0.000000000587

Коэффициент детерминации R² равен 0,992, что указывает на сильную зависимость между независимыми переменными и производительностью труда. Можно использовать F-статистику, чтобы определить, является ли этот результат (с таким высоким значение R²) случайным. Величина  применяется для обозначения вероятности ошибочного вывода о том, что имеется сильная взаимозависимость.

.

Оценки параметров модели и их значимость

Первый и второй – название и величина оценок параметров модели:

Y – пересечение – b₀ = 8,585;

переменная Х₁ – b₁ = 1,093;

переменная Х₂ – b₂ = 0,126;

переменная Х₃ – b₃ = -0,59;

Таким образом, получена модель:

= 8,585 + 1,093Х₁ + 0,126Х₂ – 0,59Х₃.