§5. Система уравнений Максвелла в дифференциальной форме

Переход к дифференциальной форме осуществляется с помощью теоремы Остроградского–Гаусcа

где(1) и теоремы Стокса

где. (2) где—произвольный вектор, а(набла) – дифференциальный оператор, равный

. (3)

Используя эти теоремы, получим

(4)

Из последних частей этих равенств получим

(5)

Это уравнения Максвела в дифференциальной форме. Если среда диэлектрическая или вакуум (в такой среде нет свободных зарядов ρ=0 и токов проводимости) ,то система уравнений(5)принимает вид

(6)

§6. Волновое уравнение

Запишем уравнения (6)через векторыи.С учетомполучим

(1)

Умножим обе части левых уравнений (1) векторно на оператор . Получим

(2)

С учетом формулы векторного анализа «бац минус цаб» преобразуем векторные произведения в формулах (2)

(3)

и получим

(4)

где учтено, что согласно (1) и введен оператор(дельта)

(5)

С учетом (3) и (4)уравнения (2)можно записать в виде

, (6)

где

(7)

Величина

(8)

называется электродинамической постоянной. Она совпадает со скоростью света в вакууме.

Уравнение вида

(9)

называется волновым уравнением. Параметрvв этом уравнении есть скорость распространения волны. Функцияf=f(x,y,z,t),входящая в волновое уравнение, называетсяуравнением волныиливолновой функцией.

Согласно волновым уравнениям (6) возможно существование электрической и магнитной волн в свободном пространстве сдиэлектрической и магнитной проницаемостямиεиμ,и в частности в вакууме, где εиμ. Однако поляив этих волнах не являются независимыми, а связаны уравнениями Максвелла, поэтому в природе существуют толькоэлектромагнитные волны, в которых изменяющееся электрическое полепорождает изменяющееся во времени магнитное поле,и наоборот. Можно показать, что ЭМ-волны являютсяпоперечными, т.е. векторыив ЭМ-волне перпендикулярны направлению распространения волны.

Глава 2. Волны. Поляризация волн §1. Виды волн. Общие свойства волн

Обычно под волнойпонимают распространение колебаний в пространстве. В общем случае волна— это распространение в пространстве любого возмущения среды или поля. Существуют, например, волны на поверхности жидкости, акустические, электромагнитные (ЭМ) и т.д.

Особенностью волновых процессов является перенос энергии без переноса вещества. Например, в случае акустической или звуковой волны частицы среды колеблются около своих положений равновесия, повторяя колебания соседних частиц среды.

1. По форме различают следующие волны:

а. Одиночные волны или импульсы:

б. Цуг волн — обрывок синусоиды:

в. Гармоническиеилимонохроматическиеволны, представляющие собой бесконечную синусоиду

Такие волны в природе не существуют, это идеализация. Однако, согласно теореме Фурье, доказываемой в математике, любая реальная ограниченная в пространстве и времени волна может быть представлена в виде бесконечного набора монохроматических волн различной частоты. Поэтому для изучения распространения волн в среде достаточно знать, как распространяются в ней отдельные монохроматические составляющие.

2.В зависимости от направления колебаний в волне различаютпродольныеипоперечныеволны. Впродольнойволне колебания частиц среды осуществляются в направлении распространения волны, а в поперечной — в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны.

Примером продольных волн являются звуковые волны в газе. В твердых телах могут существовать как продольные, так и поперечные звуковые волны Примером чисто поперечных волн являются ЭМ-волны.

3.Волны различают также по типуволновых поверхностей, которые представляют собой геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе. По типу волновых поверхностей различаютплоские,сферическиеицилиндрическиеволны.

Частным случаем волновой поверхности является волновой фронт —геометрическое место точек, до которых доходят колебания в момент времениt. Фронт волны разделяет охваченную волновым процессом часть пространства от неохваченной.

4. Физическая величина f,изменяющаяся по волновому закону, должна удовлетворятьволновому уравнению

(1)

где v —скорость распространения волны.

Если волна распространяется в одном направлении, например, оси OX, то волновое уравнение имеет вид

. (2)

Решением этого уравнения являются функции вида или, описывающие волну, распространяющуюся в положительном направлении осиOX. Аргумент функцииилиназываетсяфазой волны.

Поверхности постоянной фазы называютсяволновыми поверхностями. Приt =const поверхность постоянной фазы удовлетворяет уравнениюx=const,которое является уравнением плоскости, перпендикулярной оси OX,т.е. направлению распространения волны. Таким образом, функции видаилиописываютплоские волны. Дифференцируя обе части равенствапоt,получим

,

а отсюда, очевидно,

,

т.е. vесть скорость распространения поверхности постоянной фазы. Ее называютфазовой скоростьюволны.

5. Любая волна обладает энергией Wи энергией в единице объема или объемной плотностью энергииw:

. (3)

6. Волна, распространяющаяся со скоростью v,переносит через единицу поверхности в единицу времени энергию

(4)

Вектор называетсявектором Пойнтингаиливектором Умова. Его величинаSпредставляет собой плотность потока энергии. ВекторSуказывает направление переноса энергии в волне.