![](/user_photo/1334_ivfwg.png)
Лабораторные работы по термодинамике
.pdf![](/html/1334/253/html_yqqFGI9J5t.x5s3/htmlconvd-1ETYc011x1.jpg)
7.Что называется тепловой машиной? Чем характеризуется эффективность её работы?
8.Что называется холодильной машиной? Чем характеризуется эффективность её работы?
9.Может ли энтропия замкнутой системы уменьшаться?
10.Какой физический смысл имеет площадь цикла в координатах nVT и SVT?
Лабораторная работа 3
Определение вязкости газов при их течении через узкую трубку
Цель работы: изучение явлений переноса в газе. Определение коэффициента диффузии, вязкости газа, длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул.
Приборы и принадлежности: прибор для измерения объемной скорости газа.
Исследуемые закономерности
Явления переноса. Хаотическое движение молекул в газе приводит к тому, что в объеме газа поддерживается равновесное состояние, которое характеризуется постоянством параметров состояния газа и концентрации молекул во всем его объеме.
При нарушении равновесия в газе хаотическое движение молекул приводит к возникновению макроскопических потоков, стремящихся восстановить нарушенное равновесное состояние. Явления, возникающие при протекании этих процессов, называются явлениями переноса.
К явлениям переноса относят диффузию, внутреннее трение (вязкость), теплопроводность. В данной работе исследуются первые два явления.
Внутреннее трение − это |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
явление, обусловленное перено- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сом импульса. Пусть при тече- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нии газа его слои движутся па- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
раллельно друг другу в направ- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лении оси x с различной скоро- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стью vx(z) (рис. 3.1, а). Тогда в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
направлении, перпендикулярном |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
||
а |
|
|
б |
||||||||||
скорости течения газа, будет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Рис. 3.1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
происходить перенос импульса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
от молекул, находящихся в слоях, движущихся с большей скоростью, к мо-
13
![](/html/1334/253/html_yqqFGI9J5t.x5s3/htmlconvd-1ETYc012x1.jpg)
лекулам, находящимся в слоях, движущихся с меньшей скоростью. Это проявляется как трение, возникающее между слоями газа. В результате разные скорости движения слоев газа стремятся выровняться (рис. 3.1, б). Сила трения, возникающая между слоями газа, определяется законом Ньютона:
Fтр = − η S grad v,
где η − коэффициент внутреннего трения (вязкости); v − скорость отдельных слоев газа; grad v − градиент скорости в направлении, перпендикулярном к поверхности, разделяющей слои (в нашем случае grad v = dvx / dz); S − площадь соприкасающихся слоев.
Течение газа в узкой трубке. Пусть газ течет в трубке радиусом a длиной
l(l >> a) под действием разности давлений ∆p на концах трубки (рис. 3.2).
Вустановившемся режиме (t > t3) распределение скорости течения газа по сечению трубки описывается параболической зависимостью
vx (r ) = 2vx 1 − r 2 ,
a2
где r − расстояние от оси трубки; vx − средняя по сечению скорость течения газа. Вблизи стенок трубки при r = a градиент скорости равен dvdrx = 4vax .
Учитывая, что сила трения газа о стен-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ки трубки Fтр = −η |
4vx |
|
2πal уравно- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2а |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вешивает внешнюю силу, действую- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
щую на газ в трубке, F = ∆pπ a2, полу- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
t1 |
|
t2 |
t3 |
|
чим выражение для средней скорости: |
||||||||
t0 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆pa |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Рис. 3.2 |
|
|
|
|
vx = |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8ηl |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это выражение называется формулой Пуазейля. В данной работе измеряется расход газа Q, определяемый как объем ∆V газа, вытекающий из трубки за некоторый промежуток времени, Q = ∆V / ∆t. Расход газа связан со средней скоростью vx соотношением Q = π a2 vx , так что средняя скорость
vx = ∆V / (∆t π a2).
Приравнивая полученные выражения, определяем формулу для расчета коэффициента вязкости:
14
![](/html/1334/253/html_yqqFGI9J5t.x5s3/htmlconvd-1ETYc013x1.jpg)
η= πa4 ∆p∆t . 8l ∆V
Диффузия − это явление, обусловленное переносом массы. Если различные области занимаемого газом объема различаются концентрацией молекул, то в газе возникают макроскопические потоки молекул, стремящиеся выровнять концентрацию. Процесс диффузии описывается законом Фика:
m = − D grad ρ S,
где m − масса газа, переносимая через площадь S в единицу времени; D − коэффициент диффузии; grad ρ = dρ / dz − градиент плотности газа в направлении переноса.
Молекулярно-кинетические соотношения. Согласно представлениям о молекулярно-кинетических процессах, кинетические коэффициенты D и η зависят от средней скорости теплового движения молекул u = (8RT / πµ)1/2 и средней длины свободного пробега λ = 2π d2n)−1 молекул следующим обра-
зом:
D = |
1 |
u λ; |
η = |
1 |
|
ρu λ; η = D ρ. |
|
3 |
|||||
|
3 |
|
|
В формулах используются следующие обозначения: T − температура газа; R = 8,31 (Дж/К моль) − универсальная газовая постоянная; ρ − плотность газа; µ − молярная масса газа; d − газокинетический диаметр молекул; n – концентрация молекул газа.
Метод измерений. Прибор для |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
измерения объемной скорости тече- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ния газа (рис. 3.3) состоит из сосуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 с исследуемым газом и сосуда 2, |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
6 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
заполненного водой и присоединен- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ного к сосуду 1 гибкой трубкой. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
||||||
Давление в сосуде 1 регулируется |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
перемещением по вертикали откры- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
того сосуда 2 и измеряется U- образным манометром 3 (1 мм вод.
ст. ≈ 10 Па). Сосуд 1 сообщается с
Рис. 3.3
атмосферой через кран 4 и узкую
трубку 5. Положение уровня жидкости и изменение объема газа в сосуде 1 определяются по шкале 6 (1 деление соответствует 5 см3).
15
Указания по выполнению наблюдений
1.Записать в протокол наблюдений диаметр 2a и длину l капилляра, температуру и давление воздуха в лаборатории.
2.Соединить измерительную установку с атмосферой, открыв кран 4 (см. рис. 3.3). Опустить сосуд 2 в нижнее положение. Когда жидкость в обоих коленах манометра 3 установится на одном уровне, закрыть кран.
3.Поднять сосуд 2 на такую высоту, чтобы манометр 3 показывал разность давлений ∆p ≈ 500 Па. Записать в таблицу значение ∆p и положение n0 уровня жидкости в сосуде 1, определенное по шкале 6.
4.Открыть кран 4, одновременно включив секундомер, и, поднимая сосуд 2, поддерживать постоянное значение разности давлений ∆p по манометру 3.
5.Когда объем жидкости в сосуде 1 увеличится на (5–10) см3, закрыть кран и
остановить секундомер. Записать в таблицу конечное положение nl уровня жидкости в сосуде 1 и время ∆t течения газа по секундомеру. Разность между значениями положений уровней жидкости равен объему n0 [см3] протекающего газа ∆V = nl −n0.
6.Повторить измерения 5 раз при различных ∆p.
Задание по обработке результатов
1.По данным наблюдений вычислить значения коэффициента вязкости η. Рассчитать доверительную погрешность, используя методы вычисления погрешностей косвенных измерений. Результат измерений представить в стандартной форме η = < η> ± ∆η; Р = 95%.
2.Учитывая, что плотность воздуха при нормальных условиях ρ = 1,29 кг/м3, вычислить значение коэффициента диффузии D и доверительную погрешность ∆D.
3.Оценить среднюю длину свободного пробега и газокинетический диаметр молекул воздуха (молярная масса воздуха µ = 29 · 10−3 кг/моль).
4.Проверить выполнение принятых в работе допущений о стационарности течения газа и отсутствия турбулентности, т. е. завихрений течения. Число Рейнольдса вычисляется по формуле Re = a vx /D. Для ламинарного (гладкого, без завихрений) течения оно должно быть менее 1000. Стационарность течения газа в трубке можно проверить, рассчитав длину lст, на которой происходит установление стационарного распределения скорости газа по сечению трубки, lст ≈ 0,2 R Re.
16
Контрольные вопросы
1.В чем сущность явлений переноса, при каких условиях они возникают?
2.Дайте определения коэффициента вязкости, коэффициента диффузии.
3.Дайте определения ламинарного и турбулентного течений.
4.В чем состоит физический смысл средней длины свободного пробега?
5.Каким образом определяется тип течения газа в данной работе?
6.Свяжите число Рейнольдса с расходом воздуха. Все ли значения расхода воздуха удовлетворяют условию ламинарности и стационарности течения?
Лабораторная работа 4
Исследование нестационарной теплопроводности в диэлектрической среде
Цель работы: изучение закономерностей процесса тепловой диффузии и определение значения коэффициента тепловой диффузии исследуемого материала.
Приборы и принадлежности: установка для измерения температурного поля, создаваемого в среде тепловым источником.
Исследуемые закономерности
Уравнение теплопроводности. Теплопроводность характеризует диффузию тепла в среде. Перенос энергии теплового движения в газах осуществляется через столкновения молекул, в твердых телах − посредством передачи энергии колебаний кристаллической решетки. В обоих случаях процесс переноса теплоты описывается уравнением диффузии Фика:
j = − DT grad u,
где j − плотность теплового потока; u − объемная плотность внутренней энергии среды; DT − коэффициент тепловой диффузии. Учитывая, что объемная плотность внутренней энергии связана с температурой среды соотношением u = cT, где с − теплоемкость единицы объема среды, можно записать
уравнение теплопроводности Фурье:
j = − λ grad Т,
где λ − коэффициент теплопроводности, λ = DT с. Значения коэффициентов λ и DT для некоторых твердых веществ приведены в таблице.
17
![](/html/1334/253/html_yqqFGI9J5t.x5s3/htmlconvd-1ETYc016x1.jpg)
Вещество |
DT , см2/с |
λ, Вт/(м2 К) |
Алюминий |
1 |
200 |
Лед |
0,01 |
2 |
Песок морской |
0,003 |
0,3 |
Температурное поле точечного источника тепла. Рассмотрим задачу определения температурного поля T(x; t) в однородной среде. Положим, что температурное поле создается импульсным точечным источником тепла. Рассмотрим распространение тепла вдоль однородного бесконечного стержня, расположенного вдоль оси x. Начало координат совместим с положением нагревателя, который расположен перпендикулярно оси.
Пусть в тонком поперечном слое при x = 0 и t = 0 мгновенно выделилось количество теплоты Q0. Выделившееся тепло диффундирует вдоль оси x. Распределение тепла вдоль стержня в любой момент времени соответствует нормальному закону Гаусса:
P(x)= |
1 |
|
− |
x2 |
|
|
exp |
2σ |
2 |
, |
|||
σ 2π |
|
|
где Р (x) − вероятность того, что к некоторому моменту времени порция теплоты будет иметь координату x; σ − среднеквадратичная ширина распределения. Тогда распределение линейной плотности тепла вдоль стержня равно:
∆∆Qx = σQ20 π exp −2xσ22 .
Разделим обе части этого равенства на произведение (с S), где с − теплоемкость единицы объема стержня, S − площадь его поперечного сечения:
∆Q 1 |
|
Q0 1 |
exp− |
x2 |
|
= |
2σ2 |
. |
|||
∆x cS |
|
σ 2π cS |
|
|
|
Левая часть данного выражения есть приращение температуры относительно исходной. Она равна приращению температуры ∆T(x; t) в точке с координатой x в момент времени t по отношению к температуре в момент времени t = 0:
∆T(x; t) = T(x; t) − T(x; 0).
Тогда искомое распределение температуры вдоль стержня имеет вид
− |
x2 |
|
|
∆T(x; t) = T(0; t) exp 2σ2 , |
(4.1) |
||
18 |
|
|
|
![](/html/1334/253/html_yqqFGI9J5t.x5s3/htmlconvd-1ETYc017x1.jpg)
где T(0; t) − температура стержня к моменту времени t в точке среды с координатой x = 0; σ − среднеквадратичная ширина распределения температуры по координате x. Кривые распре-
деления температуры по коорди-
нате для двух моментов времени |
|
T |
|
t1 < t2 |
|
показаны на рис. 4.1. |
|
|
t1 |
|
|
С увеличением времени па- |
|
|
|
|
|
раметр σ увеличивается, при |
|
|
|
|
|
этом температура T(0; t), соот- |
|
|
|
t2 |
|
ветствующая максимуму распре- |
|
|
|
|
|
деления, уменьшается. Неравно- |
|
|
|
|
|
весное состояние неравномерно |
–у2 |
–у1 у1 |
у2 |
x |
|
нагретого стержня релаксирует к |
|||||
|
|
|
|||
равновесному состоянию с оди- |
|
Рис. 4.1 |
|
|
|
наковой температурой во всех |
|
|
|
|
точках стержня. Зависимость σ от времени можно представить в следующем виде:
σ(t) = = |
DTt |
. |
(4.2) |
Метод измерений. В работе исследуется нестационарное распределение температуры в среде после кратковременного нагревания среды в некотором малом объеме. Экспериментальная установка содержит электронагревательный элемент, имеющий форму пластины, и термометры, находящиеся на различных расстояниях от нагревателя. Пространство между нагревателем и термометрами заполнено кварцевым песком. Удельная теплоемкость песка 1,3 106 Дж/(м3 К). Геометрические размеры установки подобраны таким образом, что температурное поле вблизи нагревателя можно считать изменяющимся только вдоль одной координаты x. Направление оси x перпендикулярно плоскости пластины.
Указания по выполнению наблюдений
1.Записать начальные показания термометров T(x; 0) и их координаты x.
2.В соответствии с инструкцией к установке включить нагреватель.
3.Выключить нагреватель и регистрировать показания термометров T(x; t) через интервалы времени ∆t = 5 мин. Количество измерений 6−8. Результаты наблюдений занести в таблицу.
19
![](/html/1334/253/html_yqqFGI9J5t.x5s3/htmlconvd-1ETYc018x1.jpg)
Задание по обработке результатов
1.Вычислить приращение температуры среды относительно исходной температуры ∆T(x; t) для каждого момента времени t в точках с координатами термометров x.
2.Построить график распределения температуры согласно уравнению (4.1).
Для получения линейных зависимостей вида Y = ai X + bi нужно прологарифмировать уравнение (4.1) и ввести обозначения X = x2 и Y= lg(∆T (x; t)). Для каждого значения времени ti выполнить построение по экспериментально совместимым значениям X и Y.
3.Провести через экспериментальные точки для каждого значения ti прямую линию, для чего определить: угловой коэффициент прямой, т. е. величину аi = lg e / 2σ2, где e − основание натурального логарифма, и bi = lg T (0; t). При наличии средств вычислительной техники определение коэффициентов ai и bi, провести методом наименьших квадратов.
4.Рассчитать для каждого момента времени ti значение квадрата среднеквадратичной ширины распределения σi2 = lg e / (2 аi).
5.Рассчитать, используя формулу (4.2), значения коэффициентов тепловой
диффузии для всех моментов времени ti. Результат записать в стандартной форме DT = < DT > ± ∆DT.
6.Построить график σ = DTt в координатах Y = lg σ и X = lg t. С помощью метода наименьших квадратов рассчитать угловой коэффициент прямой, которая наилучшим образом аппроксимирует экспериментальные точки в указанных координатах. Провести прямую на графике.
7.Сравнить найденное значение коэффициента тепловой диффузии DT со значением, полученным в п. 5.
Контрольные вопросы
1.При каком условии в твердом теле возникает поток тепла?
2.Запишите уравнение теплопроводности Фурье для одномерного случая, например, распространения тепла вдоль оси x.
3.Что означает знак «минус» в уравнении (4.1) или (4.2)?
4.Назовите размерность следующих величин: плотность теплового потока, поток тепла.
5.Нарисуйте распределение Гаусса и отметьте на графике среднеквадратичную ширину данного распределения.
20
6.Поясните, почему теплопроводность твердых тел во много раз больше, чем теплопроводность газов?
7.В каких координатах зависимость y = a ex будет линейной?
8.Поясните способ построения линейных зависимостей.
21
Содержание
Предисловие……………………………………………………………………….. 3
Лабораторная работа 1. Определение скорости распространения звука в воздухе……………………………………………………………………………… 4
Лабораторная работа 2. Изучение термодинамического цикла при сжатии и расширении воздуха………………………………………………………………. 7
Лабораторная работа 3. Определение вязкости газов при их течении через узкую трубку……………………………………………………………………… 13
Лабораторная работа 4. Исследование нестационарной теплопроводности в диэлектрической среде…………………………………………………………. 17
22