Лабораторные работы по термодинамике

7.Что называется тепловой машиной? Чем характеризуется эффективность её работы?

8.Что называется холодильной машиной? Чем характеризуется эффективность её работы?

9.Может ли энтропия замкнутой системы уменьшаться?

10.Какой физический смысл имеет площадь цикла в координатах nVT и SVT?

Лабораторная работа 3

Определение вязкости газов при их течении через узкую трубку

Цель работы: изучение явлений переноса в газе. Определение коэффициента диффузии, вязкости газа, длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул.

Приборы и принадлежности: прибор для измерения объемной скорости газа.

Исследуемые закономерности

Явления переноса. Хаотическое движение молекул в газе приводит к тому, что в объеме газа поддерживается равновесное состояние, которое характеризуется постоянством параметров состояния газа и концентрации молекул во всем его объеме.

При нарушении равновесия в газе хаотическое движение молекул приводит к возникновению макроскопических потоков, стремящихся восстановить нарушенное равновесное состояние. Явления, возникающие при протекании этих процессов, называются явлениями переноса.

К явлениям переноса относят диффузию, внутреннее трение (вязкость), теплопроводность. В данной работе исследуются первые два явления.

от молекул, находящихся в слоях, движущихся с большей скоростью, к мо-

13

лекулам, находящимся в слоях, движущихся с меньшей скоростью. Это проявляется как трение, возникающее между слоями газа. В результате разные скорости движения слоев газа стремятся выровняться (рис. 3.1, б). Сила трения, возникающая между слоями газа, определяется законом Ньютона:

Fтр = − η S grad v,

где η − коэффициент внутреннего трения (вязкости); v − скорость отдельных слоев газа; grad v − градиент скорости в направлении, перпендикулярном к поверхности, разделяющей слои (в нашем случае grad v = dvx / dz); S − площадь соприкасающихся слоев.

Течение газа в узкой трубке. Пусть газ течет в трубке радиусом a длиной

l(l >> a) под действием разности давлений ∆p на концах трубки (рис. 3.2).

Вустановившемся режиме (t > t3) распределение скорости течения газа по сечению трубки описывается параболической зависимостью

vx (r ) = 2vx 1 − r 2 ,

a2

где r − расстояние от оси трубки; vx − средняя по сечению скорость течения газа. Вблизи стенок трубки при r = a градиент скорости равен dvdrx = 4vax .

Учитывая, что сила трения газа о стен-

Это выражение называется формулой Пуазейля. В данной работе измеряется расход газа Q, определяемый как объем ∆V газа, вытекающий из трубки за некоторый промежуток времени, Q = ∆V / ∆t. Расход газа связан со средней скоростью vx соотношением Q = π a2 vx , так что средняя скорость

vx = ∆V / (∆t π a2).

Приравнивая полученные выражения, определяем формулу для расчета коэффициента вязкости:

14

η= πa4 ∆p∆t . 8l ∆V

Диффузия − это явление, обусловленное переносом массы. Если различные области занимаемого газом объема различаются концентрацией молекул, то в газе возникают макроскопические потоки молекул, стремящиеся выровнять концентрацию. Процесс диффузии описывается законом Фика:

m = − D grad ρ S,

где m − масса газа, переносимая через площадь S в единицу времени; D − коэффициент диффузии; grad ρ = dρ / dz − градиент плотности газа в направлении переноса.

Молекулярно-кинетические соотношения. Согласно представлениям о молекулярно-кинетических процессах, кинетические коэффициенты D и η зависят от средней скорости теплового движения молекул u = (8RT / πµ)1/2 и средней длины свободного пробега λ = 2π d2n)−1 молекул следующим обра-

зом:

В формулах используются следующие обозначения: T − температура газа; R = 8,31 (Дж/К моль) − универсальная газовая постоянная; ρ − плотность газа; µ − молярная масса газа; d − газокинетический диаметр молекул; n – концентрация молекул газа.

того сосуда 2 и измеряется U- образным манометром 3 (1 мм вод.

ст. ≈ 10 Па). Сосуд 1 сообщается с

Рис. 3.3

атмосферой через кран 4 и узкую

трубку 5. Положение уровня жидкости и изменение объема газа в сосуде 1 определяются по шкале 6 (1 деление соответствует 5 см3).

15

Указания по выполнению наблюдений

1.Записать в протокол наблюдений диаметр 2a и длину l капилляра, температуру и давление воздуха в лаборатории.

2.Соединить измерительную установку с атмосферой, открыв кран 4 (см. рис. 3.3). Опустить сосуд 2 в нижнее положение. Когда жидкость в обоих коленах манометра 3 установится на одном уровне, закрыть кран.

3.Поднять сосуд 2 на такую высоту, чтобы манометр 3 показывал разность давлений ∆p ≈ 500 Па. Записать в таблицу значение ∆p и положение n0 уровня жидкости в сосуде 1, определенное по шкале 6.

4.Открыть кран 4, одновременно включив секундомер, и, поднимая сосуд 2, поддерживать постоянное значение разности давлений ∆p по манометру 3.

5.Когда объем жидкости в сосуде 1 увеличится на (5–10) см3, закрыть кран и

остановить секундомер. Записать в таблицу конечное положение nl уровня жидкости в сосуде 1 и время ∆t течения газа по секундомеру. Разность между значениями положений уровней жидкости равен объему n0 [см3] протекающего газа ∆V = nl −n0.

6.Повторить измерения 5 раз при различных ∆p.

Задание по обработке результатов

1.По данным наблюдений вычислить значения коэффициента вязкости η. Рассчитать доверительную погрешность, используя методы вычисления погрешностей косвенных измерений. Результат измерений представить в стандартной форме η = < η> ± ∆η; Р = 95%.

2.Учитывая, что плотность воздуха при нормальных условиях ρ = 1,29 кг/м3, вычислить значение коэффициента диффузии D и доверительную погрешность ∆D.

3.Оценить среднюю длину свободного пробега и газокинетический диаметр молекул воздуха (молярная масса воздуха µ = 29 · 10−3 кг/моль).

4.Проверить выполнение принятых в работе допущений о стационарности течения газа и отсутствия турбулентности, т. е. завихрений течения. Число Рейнольдса вычисляется по формуле Re = a vx /D. Для ламинарного (гладкого, без завихрений) течения оно должно быть менее 1000. Стационарность течения газа в трубке можно проверить, рассчитав длину lст, на которой происходит установление стационарного распределения скорости газа по сечению трубки, lст ≈ 0,2 R Re.

16

Контрольные вопросы

1.В чем сущность явлений переноса, при каких условиях они возникают?

2.Дайте определения коэффициента вязкости, коэффициента диффузии.

3.Дайте определения ламинарного и турбулентного течений.

4.В чем состоит физический смысл средней длины свободного пробега?

5.Каким образом определяется тип течения газа в данной работе?

6.Свяжите число Рейнольдса с расходом воздуха. Все ли значения расхода воздуха удовлетворяют условию ламинарности и стационарности течения?

Лабораторная работа 4

Исследование нестационарной теплопроводности в диэлектрической среде

Цель работы: изучение закономерностей процесса тепловой диффузии и определение значения коэффициента тепловой диффузии исследуемого материала.

Приборы и принадлежности: установка для измерения температурного поля, создаваемого в среде тепловым источником.

Исследуемые закономерности

Уравнение теплопроводности. Теплопроводность характеризует диффузию тепла в среде. Перенос энергии теплового движения в газах осуществляется через столкновения молекул, в твердых телах − посредством передачи энергии колебаний кристаллической решетки. В обоих случаях процесс переноса теплоты описывается уравнением диффузии Фика:

j = − DT grad u,

где j − плотность теплового потока; u − объемная плотность внутренней энергии среды; DT − коэффициент тепловой диффузии. Учитывая, что объемная плотность внутренней энергии связана с температурой среды соотношением u = cT, где с − теплоемкость единицы объема среды, можно записать

уравнение теплопроводности Фурье:

j = − λ grad Т,

где λ − коэффициент теплопроводности, λ = DT с. Значения коэффициентов λ и DT для некоторых твердых веществ приведены в таблице.

17

Температурное поле точечного источника тепла. Рассмотрим задачу определения температурного поля T(x; t) в однородной среде. Положим, что температурное поле создается импульсным точечным источником тепла. Рассмотрим распространение тепла вдоль однородного бесконечного стержня, расположенного вдоль оси x. Начало координат совместим с положением нагревателя, который расположен перпендикулярно оси.

Пусть в тонком поперечном слое при x = 0 и t = 0 мгновенно выделилось количество теплоты Q0. Выделившееся тепло диффундирует вдоль оси x. Распределение тепла вдоль стержня в любой момент времени соответствует нормальному закону Гаусса:

где Р (x) − вероятность того, что к некоторому моменту времени порция теплоты будет иметь координату x; σ − среднеквадратичная ширина распределения. Тогда распределение линейной плотности тепла вдоль стержня равно:

∆∆Qx = σQ20 π exp −2xσ22 .

Разделим обе части этого равенства на произведение (с S), где с − теплоемкость единицы объема стержня, S − площадь его поперечного сечения:

Левая часть данного выражения есть приращение температуры относительно исходной. Она равна приращению температуры ∆T(x; t) в точке с координатой x в момент времени t по отношению к температуре в момент времени t = 0:

∆T(x; t) = T(x; t) − T(x; 0).

Тогда искомое распределение температуры вдоль стержня имеет вид

где T(0; t) − температура стержня к моменту времени t в точке среды с координатой x = 0; σ − среднеквадратичная ширина распределения температуры по координате x. Кривые распре-

деления температуры по коорди-

точках стержня. Зависимость σ от времени можно представить в следующем виде:

Метод измерений. В работе исследуется нестационарное распределение температуры в среде после кратковременного нагревания среды в некотором малом объеме. Экспериментальная установка содержит электронагревательный элемент, имеющий форму пластины, и термометры, находящиеся на различных расстояниях от нагревателя. Пространство между нагревателем и термометрами заполнено кварцевым песком. Удельная теплоемкость песка 1,3 106 Дж/(м3 К). Геометрические размеры установки подобраны таким образом, что температурное поле вблизи нагревателя можно считать изменяющимся только вдоль одной координаты x. Направление оси x перпендикулярно плоскости пластины.

Указания по выполнению наблюдений

1.Записать начальные показания термометров T(x; 0) и их координаты x.

2.В соответствии с инструкцией к установке включить нагреватель.

3.Выключить нагреватель и регистрировать показания термометров T(x; t) через интервалы времени ∆t = 5 мин. Количество измерений 6−8. Результаты наблюдений занести в таблицу.

19

Задание по обработке результатов

1.Вычислить приращение температуры среды относительно исходной температуры ∆T(x; t) для каждого момента времени t в точках с координатами термометров x.

2.Построить график распределения температуры согласно уравнению (4.1).

Для получения линейных зависимостей вида Y = ai X + bi нужно прологарифмировать уравнение (4.1) и ввести обозначения X = x2 и Y= lg(∆T (x; t)). Для каждого значения времени ti выполнить построение по экспериментально совместимым значениям X и Y.

3.Провести через экспериментальные точки для каждого значения ti прямую линию, для чего определить: угловой коэффициент прямой, т. е. величину аi = lg e / 2σ2, где e − основание натурального логарифма, и bi = lg T (0; t). При наличии средств вычислительной техники определение коэффициентов ai и bi, провести методом наименьших квадратов.

4.Рассчитать для каждого момента времени ti значение квадрата среднеквадратичной ширины распределения σi2 = lg e / (2 аi).

5.Рассчитать, используя формулу (4.2), значения коэффициентов тепловой

диффузии для всех моментов времени ti. Результат записать в стандартной форме DT = < DT > ± ∆DT.

6.Построить график σ = DTt в координатах Y = lg σ и X = lg t. С помощью метода наименьших квадратов рассчитать угловой коэффициент прямой, которая наилучшим образом аппроксимирует экспериментальные точки в указанных координатах. Провести прямую на графике.

7.Сравнить найденное значение коэффициента тепловой диффузии DT со значением, полученным в п. 5.

Контрольные вопросы

1.При каком условии в твердом теле возникает поток тепла?

2.Запишите уравнение теплопроводности Фурье для одномерного случая, например, распространения тепла вдоль оси x.

3.Что означает знак «минус» в уравнении (4.1) или (4.2)?

4.Назовите размерность следующих величин: плотность теплового потока, поток тепла.

5.Нарисуйте распределение Гаусса и отметьте на графике среднеквадратичную ширину данного распределения.

20

6.Поясните, почему теплопроводность твердых тел во много раз больше, чем теплопроводность газов?

7.В каких координатах зависимость y = a ex будет линейной?

8.Поясните способ построения линейных зависимостей.

21

Содержание

Предисловие……………………………………………………………………….. 3

Лабораторная работа 1. Определение скорости распространения звука в воздухе……………………………………………………………………………… 4

Лабораторная работа 2. Изучение термодинамического цикла при сжатии и расширении воздуха………………………………………………………………. 7

Лабораторная работа 3. Определение вязкости газов при их течении через узкую трубку……………………………………………………………………… 13

Лабораторная работа 4. Исследование нестационарной теплопроводности в диэлектрической среде…………………………………………………………. 17

22