24.Моделі поведінки споживачів. Рівняння Слуцького.

Нехай x=(x1..xn) – вектор-стовпчик спож.товарів, які придбав спож-ч за певний час за сталих p, маючи певний дохід. Простір товарів – множина різних наборів товарів з координатами 0: С{x:x0}. Спож-ч має пріорітети, для пари xX, yY або x>y –набір x кращий; x<y – набір y кращий;xy – еквівалентні набори. Властивості відношення переваги:

1)транзитивності: при x>y,x>z, то x>z. 2) ненас-ть- більший набір привабливіший за менший.

Вик-ся теорема Дебре: Якщо множина X зв’язана без дір, а відношення переваг неп-ні, то ф-ія кор-сті існує. Переваги спож-ча можна подати у формі такої ф-ії кор-сті u(x), що з x>y випливає u(x)>u(y), а з xy - u(x)=u(y).Властивості u(x): 1) - із зрост.спож-ня кор-сть зрост.2) - невеликий приріст блага за поч.відсутності сильно збільш.кор-сть;3) - з зрост. спож-ня швидкість зрост. кор-сті зменш.;матриця 2-х похідних (Гессе)<0 4) - при великому обсязі блага, його зрост.не приводить до зрост. кро-сті.Поверхня байдужості – гіперповерхня розмірністю (n-1) де u(x)=c=const,а бо має диф-ну форму . - гранична норма заміщення- скільки необх.2-го товару для заміни малого обсягу 1-го. Бюджетна множина – набори товарів, що можна придбати з доходом М: B={x:pxM},де p=(p1..pn) – вектор-рядок цін.

Модель поведінки спож-ча.Спож-ч прагне макс-ти кор-сть, його стримує –обм-й дохід: Розв’язуємо:L(x)=u(x)-(px-M),за умови(*): ,

i=1..n ,звідси ф-ія D спож-ча: x*=x*(p,M), а -відношення гран.кор-сті.

Рівняння Слуцького: При зрост.р n-го товару на apn,D змін-ся так: , диф-мо (*) за рn: , . Розв’язок: , де p-вектор-рядок цін, U-матриця Гессе, x*- вектор-стовпчик D на товари.Зміна D за збільш р з компенсацією:Нехай збільш доходу dM компенсує спож-ві збільш.р на dpn. Тобто du=0. Продиф-ши (*) за dM та dpn отримуємо: -зміна D, якщо зрост.рна dpn комп-ся збільш.доходу на dM=xn*dpn. Зміна D за зміни доходу: Нехай дохід змін-ся на dM, тоді D зміниться: . Диф-мо за М (*): .Звідси рівн.Слуцк: .

H= -симетрична, напівичначена (zHz’<0, для z),тому -за комп.зрост.р, D –спадає. -цінний товар(<0-малоцінний). D на цінний товар спадає-випливає з рівн.Слуцьк. Зменш.D на 1 товар, веде до зрост D на інший – взаємозамінні товари. -товари і та m взаємодоповнювальна пара. - l валовий замінник товару i. -ф-ія D x*(p,M) валово замінна- зі зрост.р на товар, D на решту не зниж-ся;строга нер-сть – сильне валове заміщення.Ефект доходу – зміна спож-ня із-за зміни реального доходу, яка виникла через зміну р. Ефект заміщення – зміна спож-ня із-за зміни відносних р.

25.Моделі фірми та поведінки фірми на конкурентних ринках.

Модель фірмиНехай Х –кільк одиниць продукту одного виду;L-праця;K – засоби праці;M – предмети праці; x=(x1..xn) – можливі обсяги вит-т різних видів рес-ів;X=F(x) – вир-ча ф-ія, виражає зв’язок між вит-ми рес-ів і вип-ом, двічі неп-но диф-на,неокласична, матриця 2-х похідних від’ємно визначена; w=(w1..wn)- вектр-рядок цін рес-ів;p – ціна продукції.

Тоді прибуток(П):П(x)=pF(x)-wx; річний дохід -R=pX=pF(x); C=wx-вит-ти вир-ва.Макс-ія П: , при ; ;x0 (вик-ють всі види ресурсів) - вартість гран.продукту ресурсу = ціні.Макс-ія вип-у:max F(x); wx<C; x0;Для розв’язку мають вик-сь умови Куна-Теккера: ; , x0

При x*-опт.набір ресурсів для макс.П,а x’-опт.набір ресурсів для макс.вип-ку за заданих витрат:x*=x’

Ізокоста-лінія постійних витрат; Ізокванта-лінія постійних випусків.

Нехай C(X)-мін.витрати при макс.випуску. тоді опт-ий випуск: maxП(x)=pX-C(X);

-в опт.т. гран.витрати=ціні випуску.

Нехай x*=x*(p,w)-ф-ія D на ресурси; X*(p,w)=F[x*(p,w)] – ф-ія S.

При заданих p,w поведінка вир-ка визн-ся так(n+1 співвідношень): (*)

1.Реакція вир-ка на зміну ціни вип-у: продиф-ши рівн (*) за p:

2.Реакція вир-ка на зміну цін ресурсів, wk:диф-мо рівн (*) за wk:

3. Реакція вир-ка на одночас.зміну ціни вип-у та ресурсів: (1.+2.): розв’язавши відносно отримуємо систему рівн: 1) 2) 3) 4) .

При H^-10, -зі зрост.p обсяг вип-у зростає.Оск. ,то деякі -зрост.p веде до зрост.попиту на деякі ресурси. Якщо -ресурс малоцінний.

2)+3)- -зрост p на малоцінний рес-с веде до збільш.вип-у. Оск. то - зрост.ціни на деякі ресурси веде до скор-ня випуску.

4) Оск. ,то підвищ ціни на деякий ресурс веде до спаду D на нього.

Поведінка фірми на конкур.ринку Нехай:1 вид прод-ії, 2 конкуренти(Ф1,Ф2), Xi=Fi(x), i=1,2- вир-ча ф-ія кожного;Тоді:p=p(X1,X2), , ;ціни на рес-и залежать від обсягів купівлі: wj=wj(xj1,xj2),j=1..n;

Стратегія Ф1 для макс.П:

.

Рівн.розв’язують за дор.ф-ії Лагранжа, розв’язок залежить від оч-ої реакції Ф2.

Нехай вит-ти-лінійні ф-ії:Сi(Xi)=cXi+d,i=1,2, де с-гран.вит-ти, d-пост.вит-ти;р продажу – лінійна ф-ія від вип-у обох фірм:p(X)=a-bX,X=X1+X2.Тоді П:Пi(X1,X2)=[a-b(X1,X2)]Xi-cXi-d=bXi[X0-(X1+X2)]-d,i=1,2,де X0=(a-c)/b-величина спільного вип-у, за якої П кожного 0. Отже випуск, що макс.П:

Рівновага за КурноКожна Ф припускає що стратегія іншої const.Тоді ,отже X1*=(X0-X1*)/2=X2*=X0/3. Заг.випуск:X=2X0/3; рівн.ціна:p=a+bX=a-(2bX0)/3. Ф вибирає певний рівень вип-у, який монотонно збігається до т.рівноваги.

Рівновага за Стакельбергом(Ст).1)Ф1 припускає, що Ф2 діє за Курно:X2=(X0-X1)/2,тоді , тоді випуск Ф1: .Т.рівноваги отримуємо з рівнянь Ф1: ,Ф2: .ПФ1= ;ПФ2= . Заг.випуск:X=3X0/4; ціна: p=a-(3bX0)/4-випуск більший, а р менше ніж у Курно.

2)Ф2 і Ф1 діють за Ст(тобто,що інша діє за Курно) – нерівновага за Ст. X1=X2=(X0-X1)/3/2. Прибуток:П1=П2=(2bX0²/25)-d – менше ніж у т.Курно.Заг.випуск:X=4X0/5,p=a-(4bX0/5)-випус більший, р-менша.

3)Ф1 та Ф2 домовлись-монополія: Заг.прибуток: max[bX(X0-X)-2d] Заг.випуск:X0/2, p=a-(bX0/2).Випуск зменш., а р-зросте.