3.7. Критерий согласия Колмогорова

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объема n. Данные выборки могут быть представлены как дискретным, так и интервальным статистическим рядом. Тогда эмпирическая функция распределения представляет собой состоятельную оценку теоретической функции распределения . Рассмотрим критерий Колмогорова

.

Требуется, используя критерий Колмогорова, проверить нулевую гипотезу о том, что’ генеральная совокупность Х распределена нормально, при конкурирующей гипотезе о том, что генеральная совокупность Х не распределена нормально.

Критическую точку находят по таблице критических точек распределения Колмогорова по заданному уровню значимости :

	0,1	0,05	0,02	0,01	0,001
	1,224	1,358	1,520	1,627	1,950

Если , то нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности (эмпирические данные согласуются с нормальным распределением). Если , то нулевую гипотезу отвергают (эмпирические данные не согласуются с нормальным распределением).

Пример. Результаты наблюдений над с.в. Х (рост мужчины) представлены в виде статистического ряда:

[xi–1, xi)	[150, 155)	[155, 160)	[160, 165)	[165, 170)	[170, 175)
ni	6	22	36	46	56
[xi–1, xi)	[175, 180)	[180, 185)	[185, 190)
ni	24	8	2

Проверить при уровне значимости гипотезу о нормальном распределении случайной величины Х, используя критерий согласия Колмогорова.

Решение. Объем выборки .

[xi–1, xi)	[150, 155)	[155, 160)	[160, 165)	[165, 170)	[170, 175)
ni	6	22	36	46	56
wi	0,03	0,11	0,18	0,23	0,28
[xi–1, xi)	[175, 180)	[180, 185)	[185, 190)
ni	24	8	2
wi	0,12	0,04	0,01

Выборочное среднее , выборочное среднее квадратическое отклонение . Составим таблицу

xi	150	155	160	165	170	175	180	185	190
	0	0,03	0,14	0,32	0,55	0,83	0,95	0,99	1
	0,0057	0,0329	0,123	0,3192	0,5832	0,8159	0,9429	0,9884	0,9984
	0,0057	0,0029	0,017	0,0008	0,0332	0,0141	0,0071	0,0016	0,0016

Так как проверяется гипотеза о нормальном распределении, то теоретическая функция распределения определяется равенством . Таким образом,

Максимальное отклонение эмпирической функции распределения от теоретической . Следовательно, . Критическое значение критерия Колмогорова . Так как , то нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности (эмпирические данные согласуются с нормальным распределением).