23 Биномиальный закон распределения

Вероятности в этом законе определяются за формулой m = 0,1,2 ., n. Закон исполняется для схемы независимых повторных испытаний, в каждом из которых событие А наступает с вероятностью г. Частота наступления события А имеет биномиальный закон распределения. Вероятностная образующая:

Вероятности в этом законе определяются за формулой m = 0,1,2 ., n. Закон исполняется для схемы независимых повторных испытаний, в каждом из которых событие А наступает с вероятностью г. Частота наступления события А имеет биномиальный закон распределения. Числовые характеристики распределения:

Пуасонивский закон: M(X)=a=np; D(X)=a; P(X)=a.

24. Закон распределения Пуассона

Дискретная случайная величина имеет распределение Пуассона, если она приобретает зліченної множества значений с вероятностями Это распределение описывает количество событий, которые наступают в одинаковые промежутки времени при условии, что эти события происходят независимо одна от другой с постоянной интенсивностью. Распределение Пуассона рассматривается как статистическая модель для количества альфа-частиц, что их излучает радиоактивный источник за определенный промежуток времени; количества вызовов, которые поступают на телефонную станцию за определенный период суток; количества требований относительно выплаты страховых сумм за год; количества дефектов на одинаковых пробах вещества и т. др. Распределение применяется в задачах статистического контроля качества, в теории надежности, теории массового обслуживания. Математическая надежда и дисперсия в этом распределении одинаковые и равняются а. Для этого распределения сложены таблицы относительно разных значений (0,1 – 20). В таблицах для соответствующих значений а приведено вероятности

Если в схеме независимых повторных испытаний n большое и р или 1 – р следуют к нулю, то биномиальное распределение аппроксимируется распределением Пуассона, когда

Вероятная образующая

Формула Пуассона для самого простого потока

Вероятность того,що за промежуток времени t+?t не состоится ни одно событие,подається в виде

Вероятность того, что за этот самый промежуток времени осуществится т событий, определяется так

Разделим левую и правую части системы уравнений на ?t и выполним предельный переход при ?t -0

В итоге достанем систему линейных дифференциальных уравнений:

25. Геометрическое распределение в теории вероятностей — распределение дискретной случайной величины равной количеству испытаний случайного эксперимента до наблюдения первого «успеха».

Со схемой испытаний Бернулли можно связать еще одну случайную величину x - число испытаний до первого успеха. Эта величина принимает бесконечное множество значений от 0 до + и ее распределение определяется формулой

pk = P(x= k) = qk-1 p, 0 <p <1, k=1, 2, … ,

26.

26. Гипергеометрическое распределение — это дискретное вероятностное распределение, которое описывает количество успехов в выборке без возвращений длины   над конечной совокупностью объектов.

Это выборка из   объектов, из которых   дефектных. Гипергеометрическое распределение описывает вероятность того, что именно   дефектных в выборке из   конкретных объектов, взятых из совокупности.

Если случайная величина   распределена гипергеометрически с параметрами  , тогда вероятность получить ровно   успехов (дефектных объектов в предыдущем примере) будет следующей:

.

Эта вероятность положительна, когда   лежит в промежутке между   и  .

Приведенная формула может трактоваться следующим образом: существует   возможных выборок (без возвращения). Есть   способов выбрать  бракованных объектов и   способов заполнить остаток выборки объектами без дефектов.

В случае, когда размер популяции является большим по сравнению с размером выборки (т.е.,   намного больше, чем  ), гипергеометрическое распределение хорошо аппроксимируется биномиальным распределением с параметрами   (количество испытаний) и   (вероятность успеха в одном испытании).

Математи́ческое ожида́ние — мера среднего значения случайной величины в теории вероятностей,  обозначается через  M[X]