Тема 14. Элементы квантовой механики

Волны де Бройля

1. Найти длину волны де Бройля для протона, прошедшего разность потенциалов 10 В.

2. Найти длину волны де Бройля для электрона, кинетическая энергия которого равна 100 кэВ.

3. Длина волны де Бройля для электрона, ускоренного в электрическом поле, равна 0,2 пм. Какую разность потенциалов прошел электрон?

4. Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов 400 В, имеет длину волны де Бройля 1 пм. Найти массу частицы, если известно, что ее заряд равен элементарному заряду.

5. Протон движется в магнитном поле напряженностью 40 кА/м по окружности радиусом 1 см. Найти длину волны де Бройля для протона.

6. Протон движется в магнитном поле по окружности радиусом 6 мм. Длина волны де Бройля для протона равна 20 пм. Чему равна индукция магнитного поля?

7. α-частица движется в магнитном поле напряженностью 30 кА/м по окружности. Найти радиус окружности, если длина волны де Бройля для α-частицы в этом случае равна 15 пм.

8. Найти длину волны де Бройля для атома водорода, движущегося при температуре 30⁰С со средней квадратичной скоростью.

9. Длина волны де Бройля для атома водорода равна 200 пм. Определить с какой скоростью движется атом водорода.

10. Найти импульс и кинетическую энергию электрона, если соответствующая его движению длина волны де Бройля равна 0,3 пм.

11. Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов 100 В, имеет длину волны де Бройля 1,5 пм. Найти импульс частицы, если известно, что ее заряд равен элементарному заряду.

12. Во сколько раз изменится длина волны де Бройля для электрона, если пройденная им разность потенциалов увеличится в два раза.

13. На сколько отличаются длины волн де Бройля для протонов, один из которых прошел разность потенциалов 100 В, а другой 500 В.

14. Длины волн де Бройля для двух электронов отличаются в три раза. Первый из них прошел ускоряющую разность потенциалов 900 В. Какую разность потенциалов прошел второй электрон.

15. Протон прошел ускоряющую разность потенциалов 300 В. Затем напряжение повысили до 600 В. Во сколько раз изменится длина волны де Бройля для протона.

16. Найти длину волны де Бройля для электрона, прошедшего разность потенциалов 100 В.

Ответ: λ = 0,123 нм

17. Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов 200 В, имеет длину волны де Бройля 2,02 пм. Найти массу частицы, если известно, что ее заряд равен элементарному заряду.

Ответ: m = 1,6710^-27 кг

18. α-частица движется в магнитном поле напряженностью 20 кА/м по окружности радиусом 0,83 см. Найти длину волны де Бройля для α-частицы.

Ответ: λ = 10 пм

19. Найти длину волны де Бройля для атома водорода, движущегося при температуре 20⁰С с наиболее вероятной скоростью.

Ответ: λ = 180 пм

20. Найти длину волны де Бройля для шарика массой 1 г, движущегося со скоростью 1 см/с.

Ответ: λ = 6,610^-29 м (то есть, у шарика нет волновых свойств)

Соотношение неопределенностей. Волновая функция. Уравнение Шредингера

21. Найти неопределенность скорости Δv электрона в атоме, радиус которого равен 10^-8 см, и сравнить ее с неопределенностью скорости шарика массой 1г, движущегося вдоль оси х, с неопределенностью координаты в 1мм. В каком из этих случаев необходимо применять волновую механику?

22. Определите, какое наименьшее время понадобится для нахождения энергии микрочастицы с неопределенностью 10^-21 Дж.

23. Какую энергию надо сообщить электрону для его перевода со второго на третий энергетический уровень, если электрон находится в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме длиной 10 см и длиной 0,1 нм? Выразите полученную энергию в электрон-вольтах, в каком из случаев нужно учитывать дискретный характер спектра энергии электрона?

24. Вычислите неопределенность энергии микрочастицы в двух случаях, если неопределенность времени составляет 10^-12 с и 10^-15 с. Переведите полученные неопределенности энергии в электрон-вольты.

25. Определите скорость электрона находящегося в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме длиной 5 см и длиной 5 нм на первом энергетическом уровне.

26. Определите скорость электрона находящегося в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме длиной 10 см и длиной 10 нм на втором энергетическом уровне.

27. Запишите уравнение волновой функции для частицы находящейся в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме длиной 2 см на первом энергетическом уровне. Определите вероятность нахождения частицы внутри ямы в пределах от 1см до 1,01 см от края ямы.

28. Запишите уравнение волновой функции для частицы находящейся в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме длиной 6 см на первом энергетическом уровне. Определите вероятность нахождения частицы внутри ямы в пределах от 1 см до 1,1 см от края ямы.

29. Запишите уравнение волновой функции для частицы находящейся в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме длиной 3 см на первом энергетическом уровне. Определите вероятность нахождения частицы внутри ямы в пределах от 1см до 1,01 см от края ямы

30. Запишите уравнение волновой функции для частицы находящейся в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме длиной 6 см на втором энергетическом уровне. Определите вероятность нахождения частицы внутри ямы в пределах от 1см до 1,01 см от края ямы

31. Найти неопределенность скорости Δv электрона в атоме, радиус которого равен 2·10^-8 см, и сравнить ее с неопределенностью скорости шарика массой 1г, движущегося вдоль оси х, с неопределенностью координаты в 0,1мм. В каком из этих случаев необходимо применять волновую механику?

32. Какую энергию надо сообщить электрону для его перевода со первого на третий энергетический уровень, если электрон находится в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме длиной 1 см и длиной 1 нм? Выразите полученную энергию в электрон-вольтах, в каком из случаев нужно учитывать дискретный характер спектра энергии электрона?

33. Определите скорость электрона находящегося в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме длиной 15 см и длиной 15 нм на втором энергетическом уровне.

34. Запишите уравнение волновой функции для частицы находящейся в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме длиной 6 см на первом энергетическом уровне. Определите вероятность нахождения частицы внутри ямы в пределах от 1,5 см до 1,51 см от края ямы.

35. Запишите уравнение волновой функции для частицы находящейся в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме длиной 6 см на первом энергетическом уровне. Определите вероятность нахождения частицы внутри ямы в пределах от 2 см до 2,1 см от края ямы.

36. Найти неопределенность скорости Δv электрона в атоме, диаметр которого равен 5·10^-8 см, и сравнить ее с неопределенностью скорости шарика массой 2 г, движущегося вдоль оси х, с неопределенностью координаты в 0,5 мм. В каком из этих случаев необходимо применять волновую механику?

Ответ: Δv_е ≈ 10⁵ м/с (Δv_е – велика – волновая механика);

Δv_ш ≈ 5·10^-29 м/с (Δv_ш – пренебрежимо мала – классическая физика)

37. Какую энергию надо сообщить электрону для его перевода с первого на второй энергетический уровень, если электрон находится в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме длиной l₁ = 10 см и длиной l₂ = 0,1 нм? Выразите полученную энергию в электрон-вольтах, в каком из случаев нужно учитывать дискретный характер спектра энергии электрона?

Ответ: ∆Е₁ = 1,8·10^-35 Дж =1,12·10^-16 эВ; ∆Е₁ = 1,8·10^-17 Дж = 112 эВ;

38. Определите скорость электрона находящегося в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме длиной 20 см и длиной 20 нм на третьем энергетическом уровне.

Ответ: v₁ = 5,4 м/с; v₂ = 5,4·10⁷ м/с

39. Запишите уравнение волновой функции для частицы находящейся в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме длиной 0,2 мм на первом энергетическом уровне. Определите вероятность нахождения частицы внутри ямы в пределах от 1мм до 1,01 мм от края ямы.

Ответ: Ψ₁(x) = 100·sin(500πx) м^-1/2; dP = 10%

40. Вычислите неопределенность энергии микрочастицы, если неопределенность времени составляет 10^-14 с. Переведите полученную неопределенность энергии в электрон-вольты.

Ответ: ∆Е = 5·10^-21 Дж = 0,031 эВ

41. Частица находится в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме длиной l. Вычислите вероятность обнаружения частицы в первой трети ямы (то есть с координатой в пределах от 0 до l/3) для второго энергетического уровня.

42. Частица находится в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме длиной l. Вычислите вероятность обнаружения частицы в первой трети ямы (то есть с координатой в пределах от 0 до l/3) для третьего энергетического уровня.

43. Частица находится в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме длиной l. Вычислите вероятность обнаружения частицы во второй трети ямы (то есть с координатой в пределах от l/3 до 2l/3) для второго энергетического уровня.

44. Частица находится в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме длиной l. Вычислите вероятность обнаружения частицы в первой трети ямы (то есть с координатой в пределах от 0 до l/3) для третьего энергетического уровня.

45. Частица находится в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме длиной l. Вычислите вероятность обнаружения частицы во второй трети ямы (то есть с координатой в пределах от l/3 до 2l/3) для третьего энергетического уровня.

46. Частица находится в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме длиной l. Вычислите вероятность обнаружения частицы в первой четверти ямы (то есть с координатой в пределах от 0 до l/4) для второго энергетического уровня.

47. Частица находится в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме длиной l. Вычислите вероятность обнаружения частицы в первой четверти ямы (то есть с координатой в пределах от 0 до l/4) для третьего энергетического уровня.

48. Частица находится в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме длиной l. Вычислите вероятность обнаружения частицы во второй четверти ямы (то есть с координатой в пределах от l/4 до l/2) для второго энергетического уровня.

49. Частица находится в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме длиной l. Вычислите вероятность обнаружения частицы в первой четверти ямы (то есть с координатой в пределах от 0 до l/4) для третьего энергетического уровня.

50. Частица находится в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме длиной l. Вычислите вероятность обнаружения частицы во второй четверти ямы (то есть с координатой в пределах от l/4 до l/2) для третьего энергетического уровня.

51. Частица находится в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме длиной l. Вычислите вероятность обнаружения частицы в третьей четверти ямы (то есть с координатой в пределах от l/2 до 3l/4) для второго энергетического уровня.

52. Частица находится в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме длиной l. Вычислите вероятность обнаружения частицы в третьей четверти ямы (то есть с координатой в пределах от l/2 до 3l/4) для третьего энергетического уровня.

53. Частица находится в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме длиной l. Вычислите вероятность обнаружения частицы в четвертой четверти ямы (то есть с координатой в пределах от 3l/4 до l) для второго энергетического уровня.

54. Частица находится в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме длиной l. Вычислите вероятность обнаружения частицы в четвертой четверти ямы (то есть с координатой в пределах от 3l/4 до l) для третьего энергетического уровня.

55. Частица находится в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме длиной l. Вычислите вероятность обнаружения частицы в пределах ямы с координатами в пределах от 0 до l/6 для третьего энергетического уровня.

56. Частица находится в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме длиной l. Вычислите вероятность обнаружения частицы в первой трети ямы (то есть, с координатой в пределах от 0 до l/3) для первого энергетического уровня.

Ответ: Р = 19,6%

57. Частица находится в двумерной бесконечно глубокой потенциальной яме длиной l по обеим координатам. Вычислите вероятность обнаружения частицы в первой трети ямы (то есть, с координатой в пределах от 0 до l/3 по каждой из осей) для первого энергетического уровня.

Ответ: Р = 3,84%

58. Частица находится в трехмерной бесконечно глубокой потенциальной яме длиной l по всем координатам. Вычислите вероятность обнаружения частицы в первой трети ямы (то есть, с координатой в пределах от 0 до l/3 по каждой из осей) для первого энергетического уровня.

Ответ: Р = 0,75%

59. Частица находится в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме длиной l. Вычислите вероятность обнаружения частицы во второй трети ямы (то есть, с координатой в пределах от l/3 до 2l/3) для первого энергетического уровня.

Ответ: Р = 60,8%

60. Частица находится в двумерной бесконечно глубокой потенциальной яме длиной l по обеим координатам. Вычислите вероятность обнаружения частицы во второй трети ямы (то есть, с координатой в пределах от l/3 до 2l/3 по каждой из осей) для первого энергетического уровня.

Ответ: Р = 37%