- •Глава . Криволинейные интегралы § .1 Криволинейный интеграл 1-го рода (по длине дуги)
- •§ .2 Свойства криволинейного интеграла I рода
- •4. Геометрический смысл криволинейного интеграла I рода:
- •5. Физический смысл криволинейного интеграла I рода:
- •§ .3 Вычисление криволинейного интеграла I рода
- •§ .5 Свойства криволинейного интеграла II рода.
- •§ .6 Вычисление криволинейного интеграла II рода
- •§ .7 Механический смысл криволинейного интеграла II-го рода
- •§ .8 Формула Остроградского-Грина
- •§ .9 Независимость криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования
§ .5 Свойства криволинейного интеграла II рода.
Пусть P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z) непрерывны на гладкой кривой AB.
@
Доказательство:
Знаки изменяются на противоположные, => интегральная сумма изменяет знак, => предел, т.е. криволинейный интеграл, изменяет знак.
2.
Доказательство cледует из определения и свойств предела.
3-4. Свойство линейности и свойство аддитивности аналогичны свойствам криволинейного интеграла I рода.
Аддитивность: если кривая разбита на части l1 и l2, то
Замечание. Пусть кривая замкнута, т.е. точка совпадает с точкой .
Обозначим эту замкнутую кривую через L, тогда криволинейный интеграл II рода по замкнутой кривой обозначается @
Выбор начальной точки, которая является и конечной, роли не играет.
Направление обхода называют положительным, если область, ограниченная контуром, при обходе остаётся слева, т.е. обход совершается против часовой стрелки.
Направление обхода контура в противоположном направлении, т.е. по часовой стрелке называют отрицательным.
- положительное направление, @
- отрицательное направление @
При этом интегралы отличаются знаком, т.е. @
Если направление обхода не указано, то замкнутый контур обходится в положительном направлении.
§ .6 Вычисление криволинейного интеграла II рода
1. Кривая - пространственная гладкая кривая, заданная параметрическими уравнениями:
Начальной точке соответствует
Конечной точке соответствует
- непрерывные во всех точках ,
. @
Кривая - гладкая плоская кривая, заданная параметрическими уравнениями:
.
Точке соответствует , точке соответствует ,
- непрерывны во всех точках кривой . Произведём замену @
3. Кривая задана явным уравнением , где
- абсцисса точки , - абсцисса точки .
Заменим ( - параметр)
@
Вывод: @
§ .7 Механический смысл криволинейного интеграла II-го рода
Пусть точка движется вдоль некоторой плоской линии от точки к точке . К точке приложена сила , которая меняется по величине и направлению при перемещении точки , т.е. является функцией координат точки :
Сила задана своими проекциями на координатные оси
, где - проекция на , - проекция на .
Работа силы при перемещении точки из точки в точку равна:
- работа силы вдоль кривой .
Замечание. Если точка движется вдоль пространственной кривой от точки к точке и на действует сила , заданная проекциями этой силы на координатные оси, то работа определяется по формуле: