§ .5 Свойства криволинейного интеграла II рода.

Пусть P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z) непрерывны на гладкой кривой AB.

1. @

Доказательство:

Знаки изменяются на противоположные, => интегральная сумма изменяет знак, => предел, т.е. криволинейный интеграл, изменяет знак.

2.

Доказательство cледует из определения и свойств предела.

3-4. Свойство линейности и свойство аддитивности аналогичны свойствам криволинейного интеграла I рода.

Аддитивность: если кривая разбита на части l₁ и l₂, то

Замечание. Пусть кривая замкнута, т.е. точка совпадает с точкой .

Обозначим эту замкнутую кривую через L, тогда криволинейный интеграл II рода по замкнутой кривой обозначается @

Выбор начальной точки, которая является и конечной, роли не играет.

Направление обхода называют положительным, если область, ограниченная контуром, при обходе остаётся слева, т.е. обход совершается против часовой стрелки.

Направление обхода контура в противоположном направлении, т.е. по часовой стрелке называют отрицательным.

- положительное направление, @

- отрицательное направление @

При этом интегралы отличаются знаком, т.е. @

Если направление обхода не указано, то замкнутый контур обходится в положительном направлении.

§ .6 Вычисление криволинейного интеграла II рода

1. Кривая - пространственная гладкая кривая, заданная параметрическими уравнениями:

Начальной точке соответствует

Конечной точке соответствует

- непрерывные во всех точках ,

. @

2. Кривая - гладкая плоская кривая, заданная параметрическими уравнениями:

.

Точке соответствует , точке соответствует _,

- непрерывны во всех точках кривой . Произведём замену @

3. Кривая задана явным уравнением , где

- абсцисса точки , - абсцисса точки .

Заменим ( - параметр)

@

Вывод: @

§ .7 Механический смысл криволинейного интеграла II-го рода

Пусть точка движется вдоль некоторой плоской линии от точки к точке . К точке приложена сила , которая меняется по величине и направлению при перемещении точки , т.е. является функцией координат точки :

Сила задана своими проекциями на координатные оси

, где - проекция на , - проекция на .

Работа силы при перемещении точки из точки в точку равна:

- работа силы вдоль кривой .

Замечание. Если точка движется вдоль пространственной кривой от точки к точке и на действует сила , заданная проекциями этой силы на координатные оси, то работа определяется по формуле: