ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКА3ЫВАНИЙ

Давая описание алгебры высказываний, мы пользовались логическими значениями высказываний (истина, ложь). Но понятия истинности и ложности не математические. Эти понятия во многих случаях субъективны и скорее относятся к философии. В связи с этим желательно построить математическую логику, не пользуясь понятиями Истинности и ложности. Необходимо также при этом построении не применять самих законов логики. Исчисление высказываний - это аксиоматическая логическая система, интерпретацией которой является алгебра высказываний.

1. Понятие формулы исчисления высказываний

Описание всякого исчисления включает в себя описание символов этого исчисления (алфавита). формул, являющихся конечными конфигурациями символов, и определение выводимых формул.

Алфавит исчисления высказываний состоит из символов трех категорий:

1. Символы первой категории: х, у, z, .... х₁ , х₂ , .... Эти символы будем называть переменными высказываниями.

2. Символы второй категории: , &,,  . Они носят общее название логических связок. Первый из них  знак дизъюнкции или логического сложения, второй  знак конъюнкции или логического умножения. третий  знак импликации или логического следования и четвертый  знак отрицания.

3. Третью категорию составляет пара символов ( ), называемая скобками.

Других символов исчисление высказывания не имеет. Формулы исчисления высказываний представляют собой последовательности символов алфавита исчисления высказываний. Для обозначения формул будем пользоваться большими буквами латинского алфавита. Эти буквы не являются символами исчисления. Они представляют собой только условные обозначения формул.

2. Определение формулы исчисления высказываний.

1. Всякая переменная х, у, z, ... является формулой.

2. Если А и В - формулы, то слова (А&В), (А v В), (А  в). А - также формулы.

3. Никакая другая строчка символов не является формулой.

Переменные высказывания будем называть элементарными формулами.

Приведем примеры формул исчисления высказываний.

Переменные высказывания х, у. z являются формулами согласно п.1 определения формулы. Но тогда слова (х&у) , (х  z), (у  z), х являются формулами согласно п.2 определения. По этой же причине будут формулами слова: (х&у ), ((xz)&(yz)), ((x&y)(yz)).

3. Определение доказуемой формулы

Следующим этапом в построении исчисления высказываний является выделение класса доказуемых

формул. Определение доказуемых формул имеет тот же характер, что и определение формулы.

Сначала определяются исходные доказуемые формулы (аксиомы), а затем определяются правила вывода, которые позволяют из имеющихся доказуемых формул получить новые доказуемые формулы.

Образование доказуемой формулы из исходных доказуемых формул путем применения правил вывода, называется выводом данной формулы из аксиом.

1. Система аксиом исчисления высказываний.

Система аксиом исчисления высказываний состоит из 11 аксиом, которые делятся на четыре группы.

Первая группа аксиом выражает импликацию:

I1 х  (у  х) .

I2 (х  (у  z))  ((х  у)  (х  z)).

Вторая группа аксиом выражает конъюнкцию:

II1 х&у  х.

II2 х&у  у.

II3 (z  х)  ((z  у)  (z  х&у)).

Третья группа аксиом выражает дизъюнкцию:

III1 х  х  у .

III2 у  х  у ,

III3 (х  z)  ((у  z)  (х  у z)).

Четвертая группа аксиом:

IV 1 (х  у)  (у  х).

IV 2 .

IV 3 .

2. Правила вывода.

1. Правило подстановки.

Если формула А доказуема в исчислении высказываний, х переменная, В - произвольная формула исчисления высказываний. то формула. полученная в результате замены в формуле А переменной х всюду. где она входит, формулой В, является также доказуемой формулой.

Операция замены в формуле А переменной х формулой В носит название подстановки и символически записывается так:

и читается эта запись так: «Если формула А доказуема. то доказуема формула .

2. Правило заключения.

Если формулы А и А  В доказуемы в исчислении высказываний, то формула В также доказуема.

Схематическая запись этого правила имеет вид: