Декурсивный метод начисления сложных процентов

При долгосрочных финансово-кредитных операциях проценты после очередного периода начисления присоединяются к сумме долга, и в следующем периоде проценты начисляются на общую сумму, т.е. с капитализацией процентов. Такие проценты называются сложными, база для их начисления увеличивается с каждым очередным периодом начисления.

Наращенная сумма за n лет при использовании постоянной годовой ставки сложных процентов i_с определяется по формуле

S = P (1 + i_с)ⁿ.

Задача 7

Банк выдал ссуду 500 тыс. р. на 3 года. Определить погашаемую сумму при использовании сложной ставки 18% годовых и сумму процентных денег.

Решение:

S = 500 000 (1 + 0.18)³ = 821 516 р.

Процентные деньги = 821 516 – 500 000 = 321 516 р.

Начисление сложных процентов при сроке ссуды более одного года дает большую сумму процентных денег, чем начисление простых процентов.

Если начисление сложных процентов осуществляется несколько раз в году (по месяцам, кварталам, полугодиям), то используется номинальная ставка процентов – годовая ставка, исходя из которой определяется величина ставки процентов, применяемой в каждом периоде начисления.

Наращенная сумма при этом определяется по формуле

S = P (1 + j / m)^mn,

где j – номинальная ставка сложных процентов, десятичная дробь;

m – количество периодов начисления процентов в году;

n – срок ссуды в годах;

j / m – ставка процентов в каждом периоде начисления, десятичная дробь.

Задача 8

Банк ежеквартально начисляет проценты на вклады по номинальной ставке 16% годовых. Определить сумму, полученную вкладчиком через 5 лет, если первоначальная сумма вклада равна 100 тыс. р.

Решение:

S = 100 000 (1 + 0.16 / 4)^{4 х 5} = 219 112.2 р.

Из формулы для наращенной суммы можно определить значение суммы, выдаваемой заемщику, т.е. осуществить дисконтирование суммы S по сложной ставке процентов.

Решите самостоятельно

Задача 9

Определите современную величину суммы 500 тыс. р., которая будет выплачена через 3 года при использовании ставки сложных процентов 20% годовых.

Ответ: 289 351.8 р.

Срок ссуды (из формулы наращенной суммы) определится

n = log (S/P) / log (1+i).

Логарифмы могут браться с любыми равными основаниями.

Задача 10

Банк начисляет сложные проценты по ставке 12% годовых. Определите срок в годах, за который сумма вклада в 25 тыс. руб. вырастет до 40 тыс. р.

Ответ: 4.15 года.

Задача 11

Сумма долга удвоилась за 3 года. Определить использованную годовую ставку сложных процентов.

Ответ: 26%.

Антисипативный метод начисления простых процентов (простые учетные ставки)

При использовании учетных ставок сумма процентных денег от предоставления денег в долг определяется исходя из суммы, которая должна быть возвращена, т.е. величиной получаемого кредита считается не получаемая, а наращенная сумма. Процентные деньги, начисленные по учетной ставке, удерживаются непосредственно при выдаче ссуды, а заемщик получает сумму кредита сразу за вычетом процентных денег. Такая операция называется дисконтированием по учетной ставке, а также банковским или коммерческим учетом. Сумма процентных денег, начисленная по учетной ставке, называется дисконтом.

Сумма, получаемая заемщиком, определится по формуле

P = S (1 – n d),

где d – простая учетная ставка;

(1 – n d) – коэффициент дисконтирования по простой учетной ставке.

Из формулы видно, что, в отличие от ссудных ставок, учетные ставки не могут принимать любые значения, коэффициент дисконтирования не может быть отрицательным, т.е. n•d должно быть строго меньше единицы. Значения d, близкие к предельным, на практике не встречаются.

Задача 12

Заемщик берет ссуду на квартал с обязательством возвратить 100 тыс. р. Определить сумму, полученную заемщиком, и величину дисконта, удержанного банком, при учетной ставке 15% годовых.

Решение:

P = 100 000 (1 – 0.25 х 0.15) = 96 250 р.

Дисконт = S – P = 100 000 – 96 250 = 3 750 р.

Если срок ссуды задан в днях (д), сумма, получаемая заемщиком, определится по формуле

P = S (1 – d • д / K),

где К – количество дней в году (временная база).

Решите самостоятельно

Задача 13

Определить сумму, полученную заемщиком, и величину дисконта, полученного банком, если по договору заемщик должен через 200 дней возвратить 100 тыс. р. при учетной ставке банка 10% годовых и временной базе 360 дней.

Ответ: 94 444.44 р.; 5 555.56 р.

На практике учетные ставки используются при покупке (учете) векселей и других денежных обязательств. В этом случае банк или другое финансовое учреждение до наступления срока по векселю покупает его у владельца (поставщика) по цене, меньшей той суммы, которая должна быть выплачена по нему в конце срока, или, как принято говорить, банк учитывает вексель с дисконтом. Владелец векселя при этом получает деньги ранее указанного в векселе срока за вычетом дохода банка в виде дисконта. Банк, получив при наступлении срока оплаты векселя указанную в нем сумму, реализует (получает) дисконт.

Указанную операцию можно рассматривать как выдачу банком ссуды в размере суммы, указанной в векселе, по учетной ставке, используемой при его учете, на срок, равный сроку от даты учета до даты погашения векселя. Следовательно, сумма, выдаваемая владельцу учитываемого векселя, будет определяться по формуле

P = S (1 – Δn·d) = S (1 – d·Δд / K),

где Δn = Δд / K – срок в днях от даты учета до даты погашения векселя;

Δд – число дней от даты учета до даты погашения векселя.

Задача 14

При учете векселя на сумму 100 тыс. р., до срока оплаты которого осталось 80 дней, банк выплатил его владельцу 98 тыс. р. Определить, какую учетную ставку использовал банк при временной базе 360 дней.

Решение:

d = (100 000 – 98 000) х 360 / (100 000 х 80) = 0.09 = 9%.