4. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Формула Муавра.

Если вещественную и мнимую части комплексного числа выразить через модуль и аргумент ( , ), то всякое комплексное число , кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме

Эта формула позволяет возводить в целую степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:

где  — модуль, а  — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 году. Приведенная формуле справедлива при любом целом n, не обязательно положительном.

5. Извлечение корня из комплексного числа.

формула применимая при вычислении корней -ой степени из ненулевого комплексного числа:

Отметим, что корни -й степени из ненулевого комплексного числа всегда существуют, и их количество равно . На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного -угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат

6. Понятие многочлена. Наибольший общий делитель.

Многочлен (или полином) от n переменных — это конечная формальная сумма вида

,

где есть набор из целых неотрицательных чисел (называется мультииндекс),  — число (называемое «коэффициент многочлена»), зависящее только от мультииндекса I.

В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида

где фиксированные коэффициенты, а  — переменная.

С помощью многочлена выводятся понятия алгебраическое уравнение и алгебраическая функция.

     Делители многочлена

     Делитель многочлена f(x) - многочлен g(x), такой, что

f(x) = g(x)q(x).

     Наибольший общий делитель двух многочленов

     Наибольший общий делитель многочленов f(x) и g(x) - такой их общий делитель d(x), который делится на любой другой их общий делитель.

     Алгоритм Евклида (алгоритм последовательного деления) нахождения наибольшего общего делителя многочленов f(x) и g(x)

     Тогда - наибольший общий делитель f(x) и g(x).

7. Основная теорема. Следствие из основной теоремы.

Основна́я теоре́ма а́лгебры утверждает, что

Всякий отличный от константы многочлен с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел.

Самое простое доказательство этой теоремы даётся методами комплексного анализа. Используется тот факт, что функция, аналитическая на всей комплексной плоскости и не имеющая особенностей на бесконечности, есть константа. Посему, функция 1/p, где p — многочлен, должна иметь хоть один полюс на комплексной плоскости, а, соответственно, многочлен имеет хоть один корен

Немедленным следствием из теоремы является то, что любой многочлен степени над полем комплексных чисел имеет в нём ровно корней, с учётом кратности корней.

Доказательство.

У многочлена есть корень , значит, по теореме Безу, он представим в виде , где  — другой многочлен. Применим теорему к и будем применять её таким же образом до тех пор, пока на месте не окажется линейный множитель.