37. Роль загальних розумових дій і прийомів розумової діяльності у навчанні математики

Аналіз і синтез. Аналіз і синтез - взаємообернені дії, складові процесу мислення. Цими тер­мінами називають також і реальне розчленування або з'єднання матеріальних об'єктів, подій, явищ, сполучення речовин з метою детального їх дослідження.

У методиці навчання математики аналіз використовується під час розв'язування задач і доведення теорем, коли у формулю­ванні задачі або теореми розчленовуються умови і вимоги, виділяються величини або фігури, про які йдеться в задачі або теоремі, елементи фігури або інші фігури, що входять до складу даної, виділяються етапи розв'язування задачі тощо. Вживаються також терміни: «аналіз уроку», коли виділяються його складові частини для з'ясування, чи досягнуто на уроці поставлених цілей; «аналіз контрольної роботи», коли ставиться завдання виділити типові помилки, яких припустилися учні, і здійснити корекцію знань і умінь.

У реальній розумовій діяльності аналіз і синтез нерозривно пов'язані.

Аналіз через синтез як прийом розумової діяльності інколи називають «прийомом переосмислення елементів задачі». Цьому прийому корисно цілеспрямовано навчати учнів.

У методиці навчання математики аналізом і синтезом тра­диційно називають також два протилежні щодо розвитку думки міркування, якими послуговуються під час розв'язування задач і доведення теорем. Аналіз - міркування від того, що треба знайти або довести, до того, що дано або встановлено раніше. Син­тез - міркування, що проводиться у зворотному напрямі.

Порівняння. Порівняння - це розумова дія, спрямована на виділення спільного і відмінного в предметах і явищах. Порівняння починається з спів­відношення предметів або явищ, тобто із синтезу, а далі від­бувається аналіз об'єктів, що порівнюються, виділення в них спільного (однакового) і відмінного. Виділене завдяки аналізу суттєве спільне об'єднує, тобто синтезує об'єкти. Цим самим здійснюється узагальнення. Порівняння - обов'язкова умова абстрагування і узагальнення.

Виділяються дві форми по­рівняння - зіставлення і про­тиставлення. Зіставлення - це розумова дія, спрямована на виділення суттєвих ознак, спільних для деяких об'єктів. Протиставлення спрямоване на виділення відмінного, несуттєвого, від чого можна відволі­катися.

Порівняння виконується лише в сукупності однорідних об'єк­тів, які утворюють певний клас. Наприклад, вводячи поняття «паралельні прямі», у планіметрії розглядають можливі поло­ження двох прямих на площині.

Абстрагування. Абстрагування - розумова дія, спрямована на виділення в предметах і явищах суттєвого і відокремлення несуттєвого в них. Ре­зультатом абстрагування, як правило, є абстракції - образи, ство­рені людським розумом.

Термін «абстракція» вживається також для позначення методу наукового дослідження під час вивчення певних об'єктів, явищ, процесів, коли не враховуються їхні неістотні сторони ознаки. Це дає змогу спростити картину явища, що розглядається, і вивчати його ніби в «чистому вигляді». Наприклад, такі геометричні фігури, як точка, пряма, площина, виявились продуктом абстра­гування від властивостей реально існуючих об'єктів, від яких вони походять: товщина (прямої, площини), розміри (точки). Ра­зом з тим властивості прямих, точок (математичних абстракцій) використовують для розв'язування реальних практичних задач з реальними об'єктами.

Узагальнення. Під узагальненням часто розуміють знаходження спільного в заданих предметах і явищах. узагаль­нення - практично значиме і науково виправдане - це не ви­ділення взагалі яких-небудь спільних властивостей, у котрих предмети або явища схожі між собою, незалежно від того, що це за властивості; наукове узагальнення включає не взагалі власти­вості, спільні або схожі для певних явищ, а властивості, істотні для них. Під істотними розуміють такі спільні власти­вості, які не можна відокремити від певного класу предметів. Во­ни однозначно відрізняють будь-який предмет даного класу від предметів інших класів. У логіці під істотними розуміють такі не­залежні ознаки об'єкта, кожна з яких є необхідною, а всі разом - достатніми для того, щоб він належав до даного поняття. Напри­клад, сприймаючи поняття «зовнішній кут трикутника», учні по­винні виділити в запропонованому наочному матеріалі (рисунках) істотну ознаку, спільну для всіх зовнішніх кутів трикутників - бу­ти суміжним внутрішньому куту, і неістотні, якими відрізняються зовнішні кути трикутника (величина кута, розташування трикут­ника і відповідного зовнішнього кута на площині).

Узагальненнями послуговуються в різних видах навчально-пізнавальної діяльності під час вивчення математики: формуючи поняття, доводячи теореми, розв'язуючи задачі. Тому навчити прийомів правильного узагальнення - одне з найважливіших зав­дань. Необхідною умовою формування правильних узагальнень є варіювання неістотних ознак понять, властивостей, фактів за ста­лості істотних ознак.

У практиці навчання математики використовуються в основ­ному два прийоми узагальнення залежно від напряму ходу думки. Перший прийом - учні зіставляють задані об'єкти (наприклад, фігури в геометрії, вирази, формули, рівняння в алгебрі), ви­діляють і формулюють їхні суттєві спільні ознаки, залишаючи осторонь несуттєві (абстрагуючись від них), і об'єднують об'єкти за цими ознаками (узагальнюють). При цьому учням невідомі загальні істотні ознаки, вони виявляють їх самостійно. Другий прийом - учні знають, які суттєві спільні ознаки треба виявити, тому із даних об'єктів вони виділяють ті, які відповідають змісту поняття, що формується, зіставляючи, виділяючи в кожному об'єкті ці ознаки, і об'єднують об'єкти за суттєвими спільними ознаками.

Узагальнення під час доведення теорем полягає в тому, що доведена теорема, наприклад про властивість даного рівнобедреного трикутника, поширюється на всі рівнобедрені трикутники. Якщо учень не може довести теорему, коли трикутник розміщено на площині інакше і змінено букви для позначення, то це означає, що узагальнення не відбулося, і доведення сприйняте формально.

Встановлення і використання аналогії. Аналогія - прийом розумової діяльності, спрямований на одержання нових знань про властивості, ознаки, відношення предметів і явищ, що вивчаються, на підставі знань про їхню часткову схожість.

У найпростіших випадках міркування за аналогією можна зобразити такою схемою:

Останнім часом філософи відносять аналогію не лише до ка­тегорій логіки, а й до категорій психології. Аналогії дуже часто притаманна велика пере­конливість, оскільки асоціація, що спричинила ту чи іншу думку в однієї людини, може привести до виникнення її і в інших. Од­нак цю переконливість не слід ототожнювати з обґрунтованістю. Такою є психологічна концепція аналогії

Висновки за аналогією можуть виявитись або правильними, або хибними, тобто мають гіпотетичний характер. Вони потре­бують спеціального обгрунтування правильності чи хибності за допомогою дедуктивних міркувань (доведень).

Аналогія як логічний метод наукового пізнання широко використовується в математиці та інших науках. Не менш важлива роль аналогій у навчанні математики в школі під час формування понять, навчання доведенню тверджень і розв'язування різних задач.

Використання аналогій під час формування понять сприяє ак­тивізації розумової діяльності школярів, оскільки, встановивши, що нове поняття аналогічне відомому раніше, учень може припу­стити збіг властивостей цих понять. Порівняння аналогічних по­нять дає можливість встановити однакові властивості, а також виявити властивості, що не збігаються (наприклад, для понять «числова рівність» і «числова нерівність»). Це сприяє глибшому усвідомленню властивостей нових понять, міцному їх запам'я­товуванню і запобіганню помилок. Великі можливості викорис­тання аналогій під час формування основних понять курсу сте­реометрії. Якщо вчитель вдало спрямовує мислення учнів, то во­ни самостійно встановлюють пари аналогічних понять: коло і сфера, круг і куля, кут і двогранний кут, паралельні прямі і пара­лельні площини, трикутник і тетраедр, паралелограм і паралеле­піпед тощо.

Порівнюючи аналогічні поняття, зручно висновки подати у вигляді таблиці. Наприклад, вивчаючи паралелепіпед, можна за­пропонувати учням таблицю порівняння його властивостей з вла­стивостями прямокутника і паралелограма.

При вивченні лінійних рівнянь і нерівностей з одним неві­домим таблиця порівняння відповідного навчального матеріалу дає можливість краще усвідомити і запам'ятати спільне і від­мінне в означеннях, способі розв'язування і множині розв'язків.

Індукція і дедукція. Індукція- форма мислення, за допомогою якої думка на­водиться на яке-небудь загальне твердження, що стосується одиничних предметів певної множини.

Дедукція (від лат. deductio- виведення) - форма мислення, за допомогою якої від відомого загального твердження перехо­дять до менш загальних або одиничних.

У шкільному курсі математики розрізняють три види індукції (індуктивних умовиводів).

Неповнаіндукція -міркування від окремого до загаль­ного, тобто умовивід, який ґрунтується на вивченні властивостей окремих об'єктів певної сукупності і поширюється на всі її об'єк­ти.

Повнаіндукція -умовивід, у правильності якого пере­конуються, розглядаючи всі окремі випадки (об'єкти, фігури, числа), що утворюють скінченну множину. Наприклад, доводячи теорему про вимірювання вписаного в коло кута, розглядають всі три окремі випадки (центр кола належить одній із сторін кута, лежить між сторонами, міститься поза кутом). Доведення власти­востей показникової функції передбачає розгляд всіх можливих випадків належності показника до різних множин чисел (нату­ральний показник, цілий, дробовий та ірраціональний).

Твердження, що ґрунтуються на застосуванні повної індукції, завжди правильні, - тобто повна індукція є методом доведення.

Математична індукція. Один з найважливіших ме­тодів доведення математичних тверджень, які охоплюють нескін­ченну кількість випадків (залежать від натурального п), ґрунтується на принципі (аксіомі) індукції.

39. Процес навчання в школі спрямований на вирішення навчально-виховних завдань, кожне з яких характеризується дидактичною завершеністю. Обов’язковим компонентом цього процесу є контроль знань, умінь та навичок, тобто перевірка його результативності.

Головна мета контролю як дидактичного засобу управління навчанням – забезпечення його ефективності приведенням його до систем знань, умінь та навичок учнів, самостійного застосування здобутих знань на практиці, стимулювання навчальної діяльності учнів, формування у них прагнення до самоосвіти.

Контроль знань складається з: перевірки, оцінки, обліку.

Функції контролю: освітня; виховну; розвиваючу; діагностичну(встановлення причин і шляхи подолання їх усунення); стимулюючу; оцінюючу; управлінську(на основі контролю визначається стан успішності учнів та дає змогу запобігти неуспішності).

Методи контролю – усного, письмового, тестового, графічного, програмованого, практичної перевірки, самоконтролю, самооцінки.

Контроль поділяється на: попередній, поточний, періодичний(тематичний), підсумковий.

40. Про методи і способи розв'язування задач.Найважливішим завданням навчання математики в школі є навчання учнів математичних методів, зокрема методів доведен­ня теорем і методів та способів розв'язування задач. «Короткий тлумачний словник української мови» стверджує, що метод - це шлях, спосіб теоретичного до­слідження або практичного здійснення чогось. Відразу ж виникає запитання: а що таке спосіб? Більш вдало, на нашу думку, тлума­читься поняття «метод» у «Большой советской энциклопедии»: метод - сукупність прийомів або операцій практичного чи теоретичного засвоєння дійсності, підпорядкова­них розв'язуванню конкретної задачі.

У методиці математики під методом розв'язування задач треба розуміти сукупність прийомів розумової діяльності або логічних математичних дій та операцій, за допомо­гою яких розв'язується великий клас задач. Поняття ж «спосіб» розв'язування задачі - вужче поняття. Це сукупність прийомів розумової діяльності або логічних і математичних дій та опера­цій, які використовуються у разі розв'язування окремої задачі або невеликої сукупності задач певного виду.

У процесі пошуку способу розв'язування багатьох задач на обчислення, доведення використовуються синтетичний і аналі­тичний, а інколи аналітико-синтетичний методи міркувань, які прийнято називати синтетичним, аналітичним і аналітико-синтетичним методами розв'язування задач відповідно.

Синтетичний метод здебільшого використовується в початковій школі та в 5-6 класах основної школи у разі розв'язування | найпростіших задач.

Розв'язуючи задачу синтетичним методом, міркують від умо­ви до шуканого, тобто виводять наслідки з того, що дано. Наве­демо для прикладу розв'язання задачі синтетичним методом.

Аналітичний метод розв'язування сприяє свідомому пошуку розв'язання задачі, вчить учнів здійснювати такий пошук само­стійно. У старших класах аналітичний метод широко викори­стовується під час розв'язування стереометричних задач на обчи­слення об'ємів, площ поверхонь геометричних тіл. При цьому розв'язання починається із записування відповідної формули, за якою обчислюється шукана величина, а потім здійснюється по­шук невідомих величин, які входять до формули.

Докладніше про інші методи розв'язування задач йдеться в розділах, що стосуються методики вивчення алгебри, геометрії, алгебри і початків аналізу.

43. Урок математики. Підготовка вчителя до уроку.Урок математики є основною колективною формою організації навчання в умовах клас­но-урочної системи. Сутність уроку розкри­вається в дидактиці. Урок математики, так само, як і будь-який урок, має основні характеристики: мету, зміст, методи і засоби навчання, організаційні форми навчальної діяльності. Водночас уроки математики мають певну специфіку, яка визначається особ­ливостями науки і шкільного предмета математики

Дедуктивний характер математики як предмета, абстрактність і загальність математичних понять, фактів і пов'язаних з ними способів діяльності потребують не тільки подолання формалізму в засвоєнні програмового матеріалу, а й забезпечення свідомого засвоєння і закріплення всього основного програмового матеріа­лу, створення фонду дійових знань, на яких ґрунтується здобуття нових знань. Тому треба будувати систему уроків так, щоб ство­рювались оптимальні умови для сприйняття нового матеріалу, його усвідомлення, запам'ятовування головного в ньому, засто­сування засвоєних знань на практиці, наступного повторення, глибшого і міцнішого оволодіння математичними знаннями, на­вичками й уміннями. Слід пам'ятати, що засвоєння частиною учнів деяких математичних понять і способів діяльності відбува­ється протягом кількох уроків.

У дидактиці існують дві найпоширеніші класифікації типів уроків. Перша за основу класифікації бере основну дидактичну мету уроку. Ця класифікація розроблена ще К. Д. Ушинським і містить такі типи уроків: а) комбінований урок, в якому поєднуються різні цілі й види навчальної роботи (робота щодо закріплення вивченого раніше, засвоєння нового навчального матеріалу, ви­роблення практичних навичок і умінь і т. д.); б) уроки подання нових знань; в) уроки закріплення вивченого, зокрема уроки формування навичок і умінь; г) уроки повторення, систематизації й узагальнення вивченого; д) уроки перевірки і оцінювання знань. Друга поширена класифікація типів уроків за основу бере способи проведення їх. У ній виділяють: уроки повторення, уроки-бесіди, контрольні роботи, комбінований урок.

У методиці навчання математики у разі характеристики уроків використовують обидві класифікації.

З погляду логіки процесу навчання в структурі уроку матема­тики виділяють три компоненти: 1) актуалізація здобутих знань і способів діяльності; 2) формування нових знань і способів діяль­ності; 3) застосування - формування навичок і умінь. За відносної незмінності зазначених компонентів форми їх реалізації можуть бути різноманітними.

До основних етапів уроку математики, як правило, відно­сять такі. 1.Постановка мети уроку.

2.Ознайомлення з новим матеріалом. 3.Закріплення нового матеріалу: а) на рівні відтворення ін­формації і способів діяльності; б) на рівні творчого застосування і здобуття нового.4.Перевірка знань, навичок і умінь.

Залежно від мети уроку послідовність цих етапів може бути різною, навіть деякі можуть бути відсутніми. Проте для кожного уроку обов'язковий перший етап - постановка мети, зокрема і перед учнями.

Вибір методів навчання, організаційних форм і засобів зале­жить від поставлених цілей уроку. При цьому кожному мето­ду і прийому мають відповідати свої організаційні форми діяль­ності учня на уроці.

44. Вступні зауваження.Вивчення теорем і їх доведень в систематичних курсах геометрії і алгебри почи­нається із 7 класу і посідає значне місце в навчальному матеріалі.

Теореми і їх доведення розвивають логіку мислення учнів, просторові уявлення та уяву, вчать методам доведення, сприяють усвідомленню ідеї аксіоматичної побудови математики. Доведен­ня дають змогу учням засвоїти евристичні прийоми розумової діяльності, формують позитивні якості особистості, зокрема обґрунтованість суджень, стислість, чіткість висловлення думки.

Які ж вимоги програми до математичної підготовки учнів, що стосуються теорем і доведення їх?

На рівні обов'язкового мінімуму програма вимагає від учнів розв'язувати типові задачі на обчислення, доведення і по­будову, проводити при цьому доказові міркування, спираючись на теоретичні факти (аксіоми, теореми, означення).

Для виконання цих вимог учні повинні знати формулювання аксіом і основних теорем: ознаки рівності й подібності трикут­ників, ознаки паралельності прямих, теорему Піфагора, ознаки паралельності й перпендикулярності прямих і площин у просторі, теорему Вієта, властивості функцій, ознаки монотонності, екст­ремуму, теореми про похідні, властивості первісної та ін.

Чи повинні учні знати всі доведення теорем? Під час вивчення певної теми на рівні обов'язкових результатів навчання учні по­винні знати формулювання теореми, основні етапи доведення, найважливіші обґрунтування і найпростіші застосування теоре­ми; на рівні оцінки «4»-«5» вміти доводити і застосовувати тео­рему в складніших випадках.

Пам'ятати доведення вивчених теорем на кінець навчального року - вимога не обов'язкова. На усних екзаменах учні повинні знати на відповідних рівнях ті теореми, які включено до екзаме­наційних білетів.

Теорему не можна вважати засвоєною, якщо учні не вміють застосовувати її до розв'язування типових задач. У реальній шкільній практиці вчителі реалізують ці вимоги по-різному. Ос­новними недоліками у вивченні теорем та їх доведень є фор­малізм у знаннях і вміннях учнів. Частина з них сумлінно виучує доведення теорем за підручником, але не може відтворити їх на зміненому положенні рисунка, з іншими буквеними позначення­ми і, що найголовніше, часто не вміє застосовувати теорему в конкретних ситуаціях, посилається на теорему, замість того щоб посилатися на обернену їй, не вміє самостійно знаходити дове­дення теореми навіть у найпростіших випадках.

Основною причиною формалізму в навчанні теорем та їх до­ведень є те, що в підручниках доведення теорем звичайно викла­дено синтетичним методом, і учням залишається лише вивчити готове доведення. На уроці ж часто не організовується аналітико-синтетична діяльність учнів, спрямована на пошук доведення, учні не озброюються правилами-орієнтирами. методів доведень, прийомами розумової діяльності, що застосовуються в процесі пошуку доведень.

Аксіоми і теореми. Види теорем. Необхідні умови, достатні умови. Необхідні і достатні умови. У математиці доводиться мати справу з висловленнями (або твердженнями), які доводяться (теореми, задачі на доведення), і такими, що їхдомовляються приймати без доведення (аксіоми).

Введення аксіом, як і первісних (неозначуваних) понять, пов'язане з дедуктивним характером побудови ма­тематики. Справді, доведення будь-якого твердження Т складаєть­ся з тверджень, істинність яких обґрунтовується раніше доведени­ми істинними твердженнями Т₁, Т₂, .... Оскільки низка раніше доведених тверджень не може бути нескінченною, виникає потреба домовитись прийняти без доведення кілька істинних тверджень.

Залежно від логічної структури теореми, як і будь-якого висловлення, розрізняють чотири їх види: прямі, обернені, протилежні, контрапозитивні (іншими словами, протилежні оберненим, або обер­нені протилежним щодо прямої теореми).

З відношенням слідування і рівносильності безпосередньо пов'язані три види умов, що стосуються умовних тверджень: не­обхідні достатні, необхідні і достатні.

Умова називається необхідною, якщо без її наявності висно­вок не може виконуватися. Наприклад, у твердженні «Якщо чис­ло закінчується парною цифрою, то воно ділиться на 2» умова «Якщо число закінчується парною цифрою» є необхідною умо­вою, бо число не може ділитися на 2, якщо воно не закінчується парною цифрою.

Умова називається достатньою, якщо за її наявності висновок обов'язково виконується. Наприклад, у твердженні «Якщо функ­ція зростаюча або спадна на певній множині значень аргументу, то вона має обернену функцію на цій множині» умова зростання або спадання (тобто умова монотонності) є достатньою умовою для існування оберненої функції до даної. Проте функція може мати обернену і тоді, коли умова монотонності не виконується, але кожного свого значення функція набуває лише для одного значення аргументу.

Умова називається необхідною і достатньою, якщо без її ви­конання висновок не може виконуватись і в разі її виконання ви­сновок обов'язково виконується. У випадку істинності прямої і оберненої теорем умова кожної з них є необхідною і достатньою. Умови необхідні і достатні трапляються не тільки в теоремах, а й в означеннях понять. Наприклад, в означенні паралельних пря­мих простору є дві суттєві ознаки (лежати в одній площині і не перетинатися). Кожна з них є необхідною і лише разом вони дос­татні для того, щоб дві прямі простору були паралельні.

У шкільному курсі твердження, які містять необхідну і дос­татню умову, формулюють по-різному. Зокрема: «Для того щоб..., необхідно і достатньо...». У стверджувальному реченні вживають словосполучення «тоді і тільки тоді», «ті і тільки ті» та ін.