Лекция № 3
План лекции
1.1. Генеральная совокупность значений случайной величины и выборочный метод наблюдений.
1.1.5. Средняя квадратическая ошибка выборки и предельная ошибка выборки.
1.1.6. Определение необходимой численности выборки.
1.1.7. Малые выборки.
1.1.5. Средняя квадратическая ошибка выборки
и предельная ошибка выборки.
Каждую
генеральную характеристику распределения
можно оценить с помощью точечной и
интервальной оценок, рассчитываемых
по выборке. В частности, нормальный
закон распределения имеет две основных
генеральных характеристики –
математическое ожидание случайной
величины
(генеральное среднее
)
и генеральная дисперсия
.
После
вычисления точечной
оценки по
выборке следует ввести следующие понятия
средняя
квадратическая ошибка вычисленной
точечной оценки (выборки)
предельная ошибка вычисленной точечной
оценки
доверительная вероятность вычисленной
точечной оценки
доверительный интервал,
в котором с заданной доверительной
вероятностью гарантированно лежит
истинное значение случайной величины
(генеральное значение).
Теорема
П.Л. Чебышева доказывает принципиальную
возможность оценки генерального среднего
по данным простой случайной повторной
выборки. Однако, пользуясь ею, мы не
можем указать вероятность появления
ошибок определенной
величины. На этот вопрос отвечает
центральная предельная теорема А.М.
Ляпунова, доказанная в 1901 г. Согласно
этой теореме при достаточно большом
числе независимых наблюдений в генеральной
совокупности с конечным средним и
ограниченной дисперсией, вероятность
того, что расхождение
между выборочным и генеральным средним
не превзойдет по абсолютной величине
некоторую величину
,
равна интегралу Лапласа (определяемому
из таблиц по
- нормированной интегральной функции
Лапласа).
Это утверждение математически записывается следующим образом:
.
(1.3)
Здесь
- табличное значение распределения
Стьюдента, зависящее от заданного уровня
доверительной вероятности
и числа степеней свободы
,
где
- объем выборки. Величина
есть средняя
квадратическая (стандартная) ошибка
выборки.
В математической статистике доказано, что величина средней квадратической (стандартной) ошибки простой случайной повторной выборки может быть определена по формуле
.
(1.4)
Из данной формулы следует, чем больше колеблемость исследуемого признака (вариативность, разброс частных значений, дисперсия), тем больше величина средней квадратической (стандартной) ошибки, и чем больше объем выборки, тем меньше величина этой ошибки.
Произведение
называют
предельной
ошибкой выборки
(предельной
ошибкой выборочного среднего).
Обозначим предельную ошибку выборки
,
получим
,
(1.5)
т. е. предельная ошибка выборки равна - кратному числу средних квадратических ошибок выборки.
Пусть
для соответствующего объема выборки
по таблицам определили
.
Тогда используя формулу (1.3) и табличное
значение интегральной функции Лапласа
можно записать
,
т. е. с вероятностью, равной 0, 9545, можно ожидать, что предельная ошибка выборочной средней не превысит удвоенной средней квадратической ошибки выборки. Таким образом, величина предельной ошибки выборки может быть установлена с определенной вероятностью.
Приведем
наиболее часто употребляемые уровни
доверительной вероятности
,
соответствующие значениям
для выборок достаточно большого объема
(
):
-
1,00
1,96
2,00
2,58
3,00
0,683
0,950
0,954
0,990
0,997
Как
видно из последней строки, вероятность
появления предельной ошибки, равной
или большей утроенной среднеквадратической
ошибки выборки, т. е.
крайне мала и равна 0,003 (получается:
1-0,997). Такие маловероятные события
считаются практически невозможными, а
поэтому величину
можно принять за предел возможной
предельной ошибки выборки.