Лекция № 8

План лекции

1.2. Графическое изображение и основные характеристики вариационного ряда.

1.2.2. Основные показатели (характеристики) ряда распределения.

1.2.2.8. Критерии согласия эмпирического и теоретического

распределений.

1.2.2.8. Критерии согласия эмпирического и теоретического распределений.

Критерии согласия используют для проверки правильности выбора изученного теоретического закона для описания эмпирического распределения. Они основаны на использовании различных мер расстояний между анализируемым эмпирическим распределением и теоретической функцией распределения признака в генеральной совокупности.

Одним из наиболее часто употребляемых критериев согласия является критерий «хи-квадрат» ( ), предложенный К. Пирсоном,

, (1.42)

где и - соответственно частоты эмпирического и теоретического распределений в -том интервале.

Чем больше разность между наблюдаемыми и теоретическими частотами, тем больше расчетная величина критерия Пирсона. Чтобы отличить существенные (значимые) значения от значений, которые могут возникнуть в результате случайностей выборки, рассчитанное значение критерия сравнивается с табличным значением при соответствующем числе степеней свободы и заданном уровне значимости. Уровень значимости выбирается таким образом, что (величина принимается равной 0,05 или 0,01).

При определении значения критерия Пирсона по данным конкретной выборки, можно встретиться с такими вариантами:

1) , т. е. попадает в критическую область. Это означает, что расхождение между теоретическими и эмпирическими частотами существенно и его нельзя объяснить случайными колебаниями выборочных данных. В таком случае гипотеза о близости эмпирического распределения к нормальному отвергается.

2) , т. е. рассчитанный критерий не превышает максимально возможную величину расхождений эмпирических и теоретических частот, которая может возникнуть в силу случайных колебаний выборочных данных. В этом случае гипотеза о близости эмпирического распределения к нормальному не отвергается.

Как уже указывалось, табличное значение критерия Пирсона определяется при фиксированном уровне значимости и соответствующем числе степеней свободы.

Число степеней свободы равно , где - число условий, которые предполагаются выполненными при вычислении теоретических частот, - число групп.

Так как при вычислении теоретических частот нормального распределения в качестве оценок генеральной средней и дисперсии используются соответствующие выборочные характеристики, то для проверки гипотезы о нормальности распределения число степеней свободы равно . При расчете критерия Пирсона нужно соблюдать следующие условия: 1) число наблюдений должно быть достаточно велико, во всяком случае ; 2) если теоретические частоты в некоторых интервалах меньше 5, то такие интервалы объединяют так, чтобы частоты были более 5.

Воспользуемся данными примера приведенного в табл. 1.4, для расчета критерия «хи-квадрат», предварительно округлив теоретические частоты в строке 8 табл. 1.4, а также объединив частоты двух первых и трех последних интервалов, выполняя требование . После таких предварительных расчетов получают частоты эмпирического и теоретического распределений, приведенные в табл. 1.6. Число степеней свободы равно: 7-3=4. При уровне значимости 0,05 и числе степеней свободы 4 значение критерия Пирсона по соответствующей статистической таблице определяют .

Таблица 1.6.

Номер интервала	Эмпирические частоты	Теоретические частоты
1	5	6	1	0,17
2	12	8	16	2,00
3	12	13	1	0,08
4	15	15	0	0,00
5	9	13	16	1,23
6	9	9	0	0,00
7	9	7	4	0,57
Итого	71	71		4,05

Таким образом, расчетное значение критерия Пирсона не превышает табличного значения при , т. е. проведенный расчет дает право не отвергать гипотезу о нормальном характере эмпирического распределения.

Используя величину , В.И. Романовский предложил оценку близости эмпирического распределения к теоретической кривой нормального распределения производить по отношению:

, (1.43)

где - число групп, а величина равна числу степеней свободы при вычислении частот нормального распределения. Если отношение

, (1.44)

то расхождение частот эмпирического распределения и рассчитанных теоретических частот нормального распределения нельзя признать случайным, и гипотезу о нормальном законе распределения следует отвергнуть. Если

, (1.45)

то возможно принять гипотезу о нормальном характере эмпирического распределения. Продолжая рассмотренный выше пример, рассчитаем критерий В.И. Романовского.

.

Так как рассчитанное отношение значительно меньше трех, следует принять гипотезу о нормальности эмпирического распределения.

Следующий весьма распространенный критерий согласия – критерий А.Н. Колмогорова. Для определения соответствия между теоретическим и эмпирическим распределениями академик А.Н. Колмогоров предложил рассматривать максимальную разность между значениями интегральной функции теоретического распределения и значениями интегральной функции эмпирического распределения .

Обозначим символом абсолютную величину максимальной разности и , т. е. . А.Н. Колмогоров установил, что когда неограниченно возрастает, вероятность того, что будет меньше величины , приближается к значениям функции.

т. е. . (1.46)

По таблицам вероятностей можно найти величину , соответствующую данной величине вероятности . Если известен объем выборки, можно рассчитать соотношение . Величина , рассчитанная по данным выборки, сравнивается с величиной .

Если , то с вероятностью можно считать, что рассматриваемое распределение соответствует нормальному закону.

Если же , то вероятность того, что гипотеза о соответствии теоретического и эмпирического распределений верна, определяется величиной .

Так как величину выбирают равной 0,95 или 0,99, то . В силу малой вероятности такого события гипотеза о нормальном характере эмпирического распределения отвергается.

Приведем краткую выдержку из таблицы значений функции А.Н. Колмогорова:

Таблица 1.7.

	1,23	1,36	1,63	1,80	2,00
	0,9030	0,9505	0,9902	0,9970	0,9993

Покажем расчет критерия А.Н. Колмогорова на рассмотренном ранее примере, результаты расчета приведены в табл. 1.8.

Таблица 1.8.

Номер интервала	Частоты		Частоты абсолютные накопленные		Частоты отностельные накопленные
	эмпири- ческие	теорети- ческие	эмпири- ческие	теорети- ческие	эмпири- ческие	теорети- ческие
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	5	6	5	6	0,0704	0,0845	0,0141	1
2	12	8	17	14	0,2394	0,1972	0,0422	3
3	12	13	29	27	0,4085	0,3803	0,0282	2
4	15	15	44	42	0,6197	0,5915	0,0282	2
5	9	13	53	55	0,7465	0,7746	0,0281	2
6	9	9	62	64	0,8732	0,9014	0,0282	2
7	9	7	71	71	1,0000	1,0000	0,0000	0

Наибольшая по абсолютной величине разность накопленных относительных частот соответствует (столбец 8).

Принимая уровень значимости , т. е. при доверительной вероятности , по таблицам значений функций А.Н. Колмогорова находим , и, следовательно, для величина равна 0,1614. Вероятность того, что была установлена нами равной 0,05 ( ). Такой результат является практически невозможным, когда проверяемая гипотеза о соответствии эмпирического распределения нормальному закону верна. Поскольку величина , рассчитанная по данным приводимого примера, получилась меньше величины , с вероятностью 95 % принимается гипотеза о нормальности эмпирического распределения.

Для расчета функции (критерия Колмогорова) можно использовать и максимальную разность абсолютных накопленных частот, т. е. величину . Тогда между и будет соотношение: , т. е. . Максимальная величина разности абсолютных накопленных частот равна 3 (столбец 9). Величина , соответствующая равна 1,36. Следовательно, для величина равна 11,4594. Так как значение меньше , то можно считать, что результаты выборки не противоречат предположению о нормальном характере распределения исследуемого признака.