Лекция № 6

План лекции

1.2. Графическое изображение и основные характеристики вариационного ряда.

1.2.2. Основные показатели (характеристики) ряда распределения.

1.2.2.3. Показатели формы распределения.

1.2.2.4. Нормальный закон распределения.

1.2.2.5. Выравнивание эмпирического распределения по нормальному закону (построение теоретической нормальной кривой распределения).

1.2.2.6. Примеры вычисления вероятностей попадания случайной величины в заданный интервал. Задача об абсолютном отклонении.

1.2.2.3. Показатели формы распределения.

Как отмечалось ранее, для получения приблизительного представления о форме распределения строят графики распределения (полигон, гистограмму и др.). Число наблюдений (экспериментов), по которому строится эмпирическое распределение, обычно невелико и представляет собой выборку из исследуемой генеральной совокупности. Поэтому эмпирические данные в определенной степени связаны со случайными ошибками наблюдения, величина которых неизвестна. Влияние этих случайностей затемняют основную закономерность изменения величины признака. С увеличением числа наблюдений и одновременным уменьшением величины интервалов зигзаги полигона начинают сглаживаться, и в пределе мы приходим к плавной кривой, которая называется эмпирической кривой распределения.

Эмпирическую кривую распределения используют для последующего анализа формы распределения, который включает решение трех последовательных задач: 1) визуальная оценка характера формы распределения, которая позволяет по статистическим таблицам, содержащим соответствующие графики известных законов распределения, предположить гипотезу соответствии полученного эмпирического распределения одному из них; 2) выравнивание полученного эмпирического распределения по предполагаемому закону, для чего рассчитанные количественные эмпирические параметры подставляют в теоретическую зависимость функции плотности выбранного закона и строят соответствующую сглаженную теоретическую кривую распределения; 3) проверка соответствия найденного теоретического распределения эмпирическому с помощью выбранного критерия согласия.

Выяснение общего характера распределения предполагает оценку степени однородности, а также вычисление показателей асимметрии и эксцесса. Однородные совокупности, как правило, характеризуется одновершинными распределениями. Многовершинность свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности.

Симметричным является распределение, в котором частоты любых вариантов, равноотстоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой.

Для симметричных распределений имеет место равенство среднего арифметического, моды и медианы. В связи с этим простейший показатель асимметрии основан на соотношении показателей центра распределения: чем больше разница между средними , тем больше асимметрия ряда.

Для сравнительного анализа степени асимметрии нескольких распределений рассчитывают относительный показатель асимметрии:

. (1.20)

Величина относительного показателя асимметрии может быть положительной и отрицательной. Положительная величина показателя асимметрии указывает на наличие правосторонней асимметрии (правая ветвь относительно максимальной ординаты вытянута больше, чем левая, рис. 1.4). Отрицательный знак показателя асимметрии свидетельствует о наличии левосторонней асимметрии (рис. 1.4).

Наиболее точным и распространенным является показатель, основанный на определении центрального момента третьего порядка (в симметричном распределении его величина равна нулю):

. (1.21)

Рис. 1.4. Асимметричные ряды распределения:

1 - с правосторонней асимметрией;

2 - с левосторонней асимметрией.

Применение этого показателя дает возможность не только определить степень асимметрии, но и ответить на вопрос о наличии или отсутствии асимметрии в распределении признака в генеральной совокупности (проверить значимость величины асимметрии). Оценка степени существенности (значимости) этого показателя осуществляется с помощью средней квадратической ошибки (п.1.1.5), которая зависит от объема наблюдений и в данном случае рассчитывается по формуле

. (1.22)

Если отношение , асимметрия существенна и распределение признака в генеральной совокупности не является симметричным, в противном случае асимметрия несущественна и ее наличие может быть объяснено влиянием различных случайных факторов.

Для симметричных распределений рассчитывается показатель эксцесса (островершинности). Наиболее точным является показатель, основанный на использовании центрального момента четвертого порядка:

. (1.23)

Рис. 1.5. Ряды распределения с положительным (слева)