17. Непрерывные случайные величины. Функция распределения вероятности непрерывной случайной величины, ее свойства и график.

Функцией распределения вероятностей называют функцию  , определяющую вероятность того, что случайная величина х в результате испытания примет значение, меньшее х, то есть: . Случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения вероятностей есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Свойства функции распределения вероятностей случайной величины

1. Значения функции распределения вероятностей принадлежат отрезку [0,1]:. 2. Функция распределения вероятностей – неубывающая функция, то есть: , если  . Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a,b), равна приращению функции распределения вероятностей на этом интервале: . Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, равна нулю. Используя последнее следствие, легко убедиться в справедливости следующих равенств: . 3. Если возможные значения непрерывной случайной величины принадлежат интервалу (a,b), то: , если  ; , если  . Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей числовой оси, то справедливы следующие предельные соотношения: 18. Функция распределения плотности вероятностей непрерывной случайной величины, ее числовые характеристики мат. ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины  называют функцию   – первую производную от функции распределения вероятностей  : Таким образом, функция распределения вероятностей является первообразной для плотности распределения вероятностей. Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина х примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в соответствующих пределах: . Следовательно, зная плотность распределения вероятности  , можно найти функцию распределения   по формуле .

Свойства плотности распределения вероятностей

1. Плотность распределения вероятностей – неотрицательная функция:

2. Несобственный интеграл от плотности распределения вероятностей в пределах всей числовой оси равен единице: .

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называют определенный интеграл . Если возможные значения принадлежат всей числовой оси, то интеграл от –беск-ти до + беск-ти Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения. Если возможные непрерывной случайной величины х принадлежат отрезку [a,b], то . Средним квадратическим отклонением непрерывной случайной величины называют, как и для величины дискретной, квадратный корень из дисперсии.