Вариант 7.
№13.
Два круга с радиусами по 5 см имеют
общую хорду длиной
см.
Найдите площадь общей части этих кругов.
Д
ано:
Окр(О;R), Окр(O1;R),
B, D – точки
пересечения, R=5см,
см.
Найти:
Решение.
По теореме, обратной теореме Пифагора
- прямоугольный (
),
Ответ:
см
№14.
Боковые стороны трапеции лежат на перпендикулярных прямых. Докажите, что отрезок соединяющий середины оснований трапеции, равен половине разности длин оснований.
Д
ано:
ABCD – трапеция,
,
.
Доказать:
Доказательство.
Заметим, что, по теореме о четырех замечательных точках трапеции, K, L,M лежат на одной прямой.
,
тогда
- прямоугольный,
,
ч.т.д.
№15.
В треугольнике АВС проведена биссектриса АК. Центр окружности, вписанной в треугольнике АВК и центр окружности, описанной около треугольника АВС, совпадают. Найдите углы треугольника АВС.
Д
ано:
,
АК –биссектриса,
-
описана около
,
-
вписана в
,
Найти:
Решение.
Т.к. О – центр вписанной и описанной окружностей и , то О – центр пересечения серединных перпендикуляров и биссектрис .
Пусть
,
тогда
Тогда получим для :
,
Ответ: ,
Вариант 8.
№13.
Две стороны треугольника имеют длины 10 см и 6 см, а медиана, проведенная к третьей стороне, равна 7 см. Найдите угол между данными сторонами треугольника.
Д
ано:
,
ВМ – медиана,
Найти:
Решение.
По теореме косинусов:
Ответ:
№14.
В треугольник АВС вписан квадрат так, что две его вершины лежат на стороне АВ и по одной вершине на сторонах АС и ВС. Найдите площадь квадрата, если АВ=40 см, а высота, проведенная из вершины С, имеет длину 24 см.
Д
ано:
,
MKLN – квадрат, СН – высота,
Найти:
Решение.
(по
двум углам)
Тогда
см2
Ответ: см2
№15.
Вне квадрата на его стороне, построен прямоугольный треугольник, у которого сторона квадрата является гипотенузой. Докажите, что биссектриса прямого угла этого треугольника проходит через центр квадрата.
Дано: ABCD – квадрат,
-
прямоугольный, NM-биссектриса.
Доказать: NM проходит через центр ABCD
Доказательство.
Достроим BCDАN до квадрата
со стороной BN+AN,
(по
трем сторонам).
Пусть О – центр квадрата NLMK,
тогда
,
значит,
- прямоугольные и равнобедренные
,
т.е. NM и LK –
биссектрисы
,
значит, биссектрисы пересекаются в
центре NLMK
,
т.е. О – центр ABCD, ч.т.д.
Вариант 9.
№13.
Докажите, что если диагонали трапеции перпендикулярны, то сумма квадратов их длин равна квадрату суммы длин оснований.
Д
ано:
ABCD – трапеция,
.
Доказать:
Доказательство.
Дополнительное построение:
,
По теореме Пифагора:
,
т.е.
,
ч.т.д.
№14.
В треугольник вписана окружность радиуса 4 см. Одна из сторон треугольника разделена точкой касания на отрезки 6 см и 8 см. Найдите длины сторон треугольника.
Д
ано:
,
-
вписана в
,
N, K, M,
L – точки касания,
,
Найти:
Решение.
,
с другой стороны
Пусть
,
тогда получим:
Тогда
Ответ:
№15.
Высота, биссектриса и медиана треугольника, проведенные из одной вершины, делят угол при этой вершине на четыре равные части. Найдите углы треугольника.
Д
ано:
,
,
MB- медиана, BD-
биссектриса,
Найти:
Решение.
Впишем
в окружность
.
Пусть
,
тогда
,
как вписанные углы, опирающиеся на
равные дуги, тогда
- равнобедренный и KD-
высота, медиана и биссектриса.
,
т.е. KF – диаметр.
,
как накрест лежащие при BH║KM,
тогда
.
(по двум углам), тогда
-равнобедренный
и ВК=ВС
-
серединный перпендикуляр к KF
- центр окружности
- диаметр, тогда
,
,
,
Ответ:
,
,
.