4 ) Теорема об отрезках пересекающихся хорд.

С

А

B

D

5 )

l

l – касательная, r – радиус

l r и наоборот.

6) В

А

АВ = ВС, АВ и ВС - касательные

С

7) В

А

L

, где АВ - касательная

С

8) С

В

А ВС – касательная, СВА = ВА

9)

A B CFD=

C

D

1 0) D

A B

D =

C K

Вариант 1.

№13.

В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности делит высоту в отношении 17:15, боковая сторона треугольника равна 34 см. Найдите основание треугольника.

Д ано: , окр.(О;r), см,

Найти:

Решение.

Т.к. О – центр вписанной окружности, тогда АО – биссектриса. По свойству биссектрисы угла треугольника, см

Ответ: см

№14.

В трапеции ABCD (AD║BC, AD>BC) на диагонали АС взята точка Е, такая, что BE║CD. Докажите, что площади треугольников ABC и DEC равны.

Д ано: ABCD – трапеция, , .

Доказать:

Доказательство.

ABCL – трапеция, тогда

( высоты равны т.к. заключены между двумя параллельными прямыми, ВС – общее основание), значит,

BCDL – параллелограмм, тогда (высоты равны, как перпендикуляры, заключенные между параллельными прямыми, ), тогда получим , ч.т.д.

№15.

Окружность, касающаяся гипотенузы прямоугольного треугольника и продолжений его катетов, имеет радиус R. Найдите периметр треугольника.

Д ано: - прямоугольный, окр.(О;R) касается гипотенузы и продолжений катетов в точках K, N, M,

Найти:

Решение.

KOMC – квадрат, т.к.

-прямоугольник, но OK=OM=R.

KA=AN, NB=BM как отрезки касательных, проведенных из одной точки, тогда

Ответ:

Вариант 2.

№13.

Три окружности с радиусами 1 см, 2 см и 3 см попарно касаются друг друга. Найдите длину окружности, проходящей через центры данных окружностей.

Д ано: Окр(A;2), Окр(B;1), Окр(C;3), E, F, D – точки касания, Окр (О;ОА),

Найти:

Решение.

Известно, что точка касания двух окружностей лежит на прямой, соединяющей их центры, тогда

В , , .

, тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, -

прямоугольный центр искомой окружности лежит на середине гипотенузы AC и

. Тогда

Ответ:

№14.

Найдите площадь трапеции, основания которой 16 см и 28 см, а диагонали 17 см и 39 см.

Д ано: ABCD – трапеция, см, см, см, см

Найти:

Решение.

Дополнительное построение: .

Пусть , тогда .

Рассмотрим прямоугольный

- по теореме Пифагора

Рассмотрим прямоугольный

по теореме Пифагора

см²

Ответ: см²

№15.

Даны две точки А и В на плоскости. Укажите геометрическое место точек М этой плоскости, для которых А, В и М – вершины равнобедренного треугольника.

Дано:

Н айти: ГМТ точки М, где А, В и М – вершины равнобедренного треугольника.

М

Решение.

1) Если в искомом треугольнике , то , где - серединный перпендикуляр, т.к. все точки, равноудаленные от концов отрезка, лежат на серединных перпендикулярах.

2) Если в искомом треугольнике , то

3) Если в искомом треугольнике , то

Вариант 3.

№13.

Через вершину В равнобедренного треугольника АВС параллельно основанию АС проведена прямая BD. Через точку К – середину высоты ВН проведен луч АК, пересекающий прямую BD в точке D, а сторону ВС в точке N. Определите, в каком отношении точка N делит сторону ВС.

Д ано: - равнобедренный, , , , .

Найти:

Решение.

( , , )

Пусть ,

( , )

Ответ:

№14.

Найдите площадь трапеции, основания которой 6 см и 26 см, а боковые стороны 12 см и 16 см.

Д ано: ABCD – трапеция, см, см, см, см.

Найти:

Решение.

Дополнительное построение: достроим трапецию до параллелограмма .

:

По формуле Герона

Ответ: см²

II способ

Дополнительное построение , тогда . По формуле Герона , с другой стороны .

Ответ: см²

№15.

Дана трапеция, в которую можно вписать окружность. Докажите, что окружности, построенные на ее боковых сторонах как на диаметрах, касаются друг друга.

Д ано: ABCD – трапеция, Окр. (О; R`) – вписанная, Окр(О₁;r), Окр(О₂;R),

Доказать: Окр(О₁;r) и Окр(О₂;R) касаются

Доказательство.

Пусть N, K, M, L – точки касания вписанной в трапецию окружности со сторонами трапеции, тогда (по свойству отрезков касательных)

- средняя линяя трапеции и . Очевидно, что общая точка единственна.

Итак, Q – тоска касания, ч.т.д.