5.2. Однокритериальные нормативные модели

Среди всего разнообразия типов нормативных моделей порождаемых соотношениями (5.1.5)…(5.1.8) в практике разработки СППР важная роль отводится классу однокритериальных оптимизационных моделей. То есть моделям, у которых размерность вектора Q (.) экстремальных требований равна единице, иными словами Q (.) представляет собой скаляр. Содержательно в однокритериальных оптимизационных моделях отображение Q (.) представляет формализацию показателя эффективности, достижение экстремального (максимального или минимального) значения которого соответствует цели управления. Поэтому это отображение еще называют целевым, в частности – целевой функцией.

Варианты решений (вектор X) содержательно представляют собой совокупности средств и способов достижения цели. Вектор H (.) требований типа равенств, как правило, формализует качественные требования к результатам управления, а вектор G (.) требований типа неравенств отображает ресурсные ограничения на выбор некоторого управленческого решения X. В совокупности векторы H (.) и G (.) задают область V допустимых решений задачи.

Сведение задач выработки управленческих решений в сфере экономики к математическим моделям однокритериальной оптимизации основано на ряде исходных предпосылок о характере моделируемых задач. Среди этих предпосылок ключевыми являются:

1) соответствие практике гипотезы о полной рациональности функционирования системы, в которой цель деятельности осознается с высокой степенью конкретности как единая количественно измеримая категория;

2) соответствие практике гипотезы об ограниченности ("дефицитности") средств достижения цели, их взаимозаменяемости и многовариантности использования;

3) соответствие практике гипотезы о том, что все альтернативные возможности достижения целей заранее известны и хорошо описаны, остаётся лишь сравнить и оценить их.

Разнообразие свойств соотношений (характер области определения, детерминированность, неопределенность или случайность отображаемых причинно-следственных связей, линейность или нелинейность реализующих эти соотношения зависимостей, статичность или динамичность параметров и т.п.) определяет разнообразие методов решения задачи (5.1.5)-(5.1.8) в однокритериальном варианте.

Существует огромное множество вариантов конструктивного построения рассматриваемой оптимизационной задачи. Для каждого класса или подкласса таких построений, как правило, разработаны или разрабатываются специфические, учитывающие особенности этого класса (подкласса), методы решения. Совокупность этих моделей и методов составляет предмет исследований научного направления, которое принято называть математическим программированием. Этот термин, как считает Д. Химмельблау [2], был предложен приблизительно в 1950 году и с тех пор стал практически общепринятым, хотя некоторые российские ученые предлагали заменить термин «программирование» его точным русскоязычным эквивалентом - «планирование». В настоящее время математическое программирование определяется как область математики, объединяющая различные ее разделы (непрерывное программирование, дискретное программирование, нелинейное программирование, линейное программирование, выпуклое программирование, динамическое программирование, стохастическое программирование и др.), изучающие математические модели и методы выбора такого вектора параметров управления, который минимизирует (максимизирует) целевую функцию на заданном некоторыми дополнительными условиями множестве [3].

То есть основной задачей математического программирования является нахождение максимального или минимального значения целевой функции при условии, что ее аргументы должны принадлежать некоторой допустимой области.

При этом непрерывное программирование объединяет совокупность моделей и методов, для которых допустимая область является непрерывным множеством.

В задачах дискретного (целочисленного) программирования эта область состоит из конечного или счетного числа изолированных точек.

К статическим задачам математического программирования относят задачи, в которых параметры модели и соответственно оптимальное решение не зависят от времени. Если же эти параметры и решение являются функциями времени, то задача относится к классу задач динамического программирования, при дискретном времени динамические задачи еще называют многошаговыми.

По виду функций, описывающих ограничения, и виду целевой функции задачи математического программирования подразделяют на линейные и нелинейные, а соответствующие разделы математического программирования называют линейным и нелинейным программированием.

В каждом разделе математического программирования могут выделяться свои подразделы, например, в нелинейном программировании выделяют такие подразделы как выпуклое программирование, квадратичное программирование и др.

При решении конкретной задачи оптимизации исследователь прежде всего должен выбрать математический метод, который приводил бы к конечным результатам с наименьшими затратами на вычисления или же давал возможность получить наибольший объем информации об искомом решении. Выбор того или иного метода в значительной степени определяется используемой математической моделью объекта оптимизации. Так если отображение (5.1.6) представлено в виде функции, то задача нахождения управленческого решения в зависимости от размерности векторов H и G опирается на математический аппарат поиска, либо безусловных, либо условных экстремумов функций. Если отображение (5.1.6) представлено в виде функционала, то задача нахождения управленческого решения опирается на математический аппарат вариационного исчисления. Если функция (5.1.6) или условия (5.1.7), (5.1.8) являются нелинейными, для решения задачи применяются методы нелинейного программирования. В случае линейности этих соотношений применяют методы линейного программирования. Если область определения функций (5.1.5)-(5.1.8) дискретна, применяются методы целочисленного программирования и т.д.

Таким образом, нельзя рекомендовать какой-либо один метод оптимизации, который можно использовать для решения всех без исключения задач, возникающих на практике. Одни методы в этом отношении являются более общими, другие - менее общими. Некоторые методы специально разработаны или наилучшим образом подходят для решения задач с математическими моделями определенного вида. Так, симплексный метод специально создан для решения задач с линейными критериями оптимальности и линейными ограничениями на переменные и позволяет решать большинство задач, сформулированных в такой постановке. Но при этом для транспортных задач линейного программирования разработаны свои еще более эффективные методы. Методы решения задач некоторых классов являются по существу модифицированными методами другого класса. Так метод Гомори для решения задач дискретного программирования основан на использовании симплексного метода линейного программирования, дополненного процедурой отсечения нецелочисленных решений. Часто также один и тот же тип задач при различных условиях нуждается в различных методах оптимизации. Так метод динамического программирования хорошо приспособлен для решения задач оптимизации многошаговых (многостадийных) процессов, особенно тех, в которых состояние каждой стадии характеризуется относительно небольшим числом переменных состояния. Однако при наличии значительного числа этих переменных применение метода динамического программирования затруднительно даже при современном развитии вычислительной техники.

Наконец, целую группу методов (методы исследования функций классического анализа, метод множителей Лагранжа, методы нелинейного программирования) на определенных этапах решения оптимизационной задачи можно применять в сочетании с другими методами, например динамическим программированием или принципом максимума Понтрягина.

Таким образом, выбор метода оптимизации является важным элементом исследования. Существенную помощь в выборе этого метода может оказать рассмотренная классификация задач оптимизации, поскольку отнесение конкретной задачи к тому или иному разделу математического программирования позволяет опереться на ранее проведенные исследования и опыт применения различных методов.

Следует отметить, что методологически завершенной классификации моделей и методов математического программирования в настоящее время еще нет. Модели и методы оптимизации, которые мы теперь относим к математическому программированию, развивались в рамках исторически складывавшихся дисциплин. Их группирование было связано либо с общностью методов поиска оптимальных решений, либо с общностью области применения определенного класса моделей (методов). Более того, математическое программирование использует при поиске экстремумов методы других дисциплин, выходящие за пределы собственно экстремальных задач, например, методы линейной алгебры, интегрального исчисления, дифференциальных уравнений. Само математическое программирование продолжает стремительно развиваться, в нем появляются новые разделы, поэтому методологическое осмысление его аппарата все еще далеко от завершения.

Поскольку рассмотреть все многообразие оптимизационных моделей и методов в рамках одного занятия невозможно в работе над рефератами вы можете ограничиться рассмотрением только тех из них, которые были изучены в других дисциплинах. В ходе самостоятельной работы для того, чтобы более - менее свободно ориентироваться в рассматриваемой проблеме представляются принципиально важным обратиться к разделам математического программирования, представленным в таблице 5.1.

Таблица 5.1.

1. Непрерывные модели и методы нелинейного программирования

Основные понятия и определения

Задача безусловной оптимизации

Задача оптимизации при условии положительности значений переменных ………………………………..

Задача условной оптимизации при ограничениях типа равенств. Метод множителей Лагранжа …………….

Обобщение метода множителей Лагранжа. Теорема Куна-Таккера ………………………………………….

Поисковые методы в задачах оптимизации

2. Модели и методы линейного программирования

2.1. Сущность задач линейного программирования. Основная задача линейного программирования

2.2. Геометрический метод решения задач линейного программирования

2.3. Симплексный метод решения задач линейного программирования

2.4. Двойственная модель линейного программирования

3. Транспортная задача линейного программирования

3.1. Постановка задачи

3.2. Способы составления допустимого опорного решения транспортной задачи

3.3. Распределительный метод решения транспортной задачи

3.4. Метод потенциалов

3.5. Венгерский метод

4. Модели и методы дискретного программирования.

4.1. Типовые модели задач дискретного программирования ………………………………….

4.2. Общая характеристика методов решения задач дискретного программирования

4.3. Метод динамического программирования

4.4. Метод ветвей и границ