Глава 2. Вычисление остаточного сопротивления неограниченной среды.

В качестве примера приведем вычисление удельной электропроводности неограниченной среды. Гамильтониан такой системы имеет вид:

. (2.1)

И соответствующее уравнение для функции Грина

. (2.2)

имеет решение

, (2.3)

где , - основной объем системы, - эффективная масса электрона.

Сопротивление свободного электронного газа или газа квазисвободных электронов идеальной решетки равно нулю, конечное же сопротивление возникает только при рассеянии электронов на различных дефектах. Как будет ясно из дальнейшего, для нас наиболее важным является рассеяние электронов на статических дефектах, таких, как хаотически расположенные атомы компонент неупорядоченного сплава (для краткости будем называть такие неоднородности примесями). Наиболее адекватным методом учета рассеяния на таких неоднородностях является так называемое приближение когерентного потенциала (ПКП). Для подробного ознакомления с этим методом можно обратиться к специальной литературе (см., например. Эренрайх…), а основные его положения изложены в приложении 1. Суть этого метода заключается в том, что хаотический потенциал неупорядоченной решетки, в котором находится электронный газ, заменяется некой эффективной средой с трансляционно инвариантным комплексным когерентным потенциалом . Действительная его часть описывает перенормировку энергетического спектра, а мнимая – релаксационные процессы, при этом одноэлектронная энергия заменяется на . Формально вид функции Грина остается прежним, но волновое число заменяется на его эффективное значение

, (2.4)

где , и - время релаксации. Коэффициент 2 учитывает тот факт, что вектор импульса релаксирует в два раза медленнее, чем энергия, являющаяся скаляром, а в данном случае нас интересует именно транспортное время релаксации. Наличие этого коэффициента легко доказать при решении квазиклассического уравнения Больцмана, описывающего перенос энергии и импульса, в борновском приближении. Рассмотрение этих явлений в формализме Кубо подтверждает универсальность такого вывода.

Подставим выражение для функции Грина в формулу Кубо, которая после интегрирования по углам принимает вид:

(2.5),

где - скорость электрона на поверхности Ферми.

Поскольку есть концентрация электронов проводимости , то для удельной проводимости получим хорошо известное выражение Друде:

. (2.6)

Глава 3. Квантовые эффекты в электропроводности.

До сих пор мы ограничивались приближением почти свободных электронов в однозонной модели с квадратичным законом дисперсии, когда для описания их состояния достаточно было задать значение квазиимпульса, а процессы рассеяния учесть введением времени релаксации. Такой подход возможен, когда длина свободного пробега электрона много меньше любого из линейных размеров системы. Одним из примеров, когда такая модель не адекватна, является нахождение проводимости тонкой пленки, толщина которой много меньше длины свободного пробега. В этом случае электроны, удерживаемые внутри пленки, находятся в потенциальной яме, а их энергетический спектр представляет собой совокупность пространственно квантованных уровней.

Остановимся на этом более подробно. Рассмотрим тонкую пленку, неограниченную в направлениях и и тансляционно инвариантную в плоскости, образуемой этими направлениями, а в направлении заключенную между плоскостями с координатами и , которые представляют собой бесконечные потенциальные барьеры. Волновая функция электронов, имеющих узлы на границах пленки, может быть записана в виде:

, (3.1)

где - компонента квазиимпульса в плоскости , -радиус-вектор в этой плоскости, а представляет собой - компоненту квазиимпульса, принимающую дискретные значения и обеспечивающие нулевые значения волновой функции на границах пленки.

Ввиду существенной пространственной неоднородности системы описание ее в импульсном представлении в данном случае вызвало бы значительные трудности. Более удобным в данном случае является смешанное координатно-импульсное представление, учитывающее трансляционную инвариантность в плоскости пленки и позволяющую в явном виде учесть зависимость различных физических параметров от координаты .

В данном разделе нас будут интересовать квантовые эффекты в проводимости тонкой пленки, для нахождения которой воспользуемся формулой Кубо. Соответствующая функция Грина в представлении и в приближении когерентного потенциала может быть найдена из уравнения:

(3.2)

где - постоянная решетки. Функция Грина непрерывна при , а ее производная терпит при этом скачок, равный . Решая уравнение для функции Грина с соответствующими граничными условиями, получим:

, (3.3)

где . Видно, что функция Грина, так же, как и волновая функция, имеет узлы на поверхности пленки. Подставим функцию Грина в формулу Кубо и вычислим диагональную компоненту тензора электропроводности. С учетом интегрирования по углам в плоскости получим:

, (3.4)

. (3.5)

Экспериментально измеряемым значением электропроводности является ее усредненное по толщине пленки значение

. (3.6)

Проделав все вычисления, получим:

, (3.7)

где -удельная проводимость неограниченной системы. Из формулы (3.7) видно, что тензор проводимости тонкой пленки существенно отличается от тензора проводимости неограниченной системы, поскольку содержит явную зависимость от толщины пленки, а также осциллирующие члены, возникающие вследствие пространственного квантования электронного спектра. Период осцилляций определяется условием . Осцилляции сглаживаются при учете затухания, вызванного рассеянием на примесях (члены с гиперболическими функциями), и численные расчеты показывают, что они практически не заметны при толщине пленки порядка нескольких периодов. Такие осцилляции называются квантовым размерным эффектом. Присутствующие в подынтегральном выражении квантовые добавки обеспечивают правильное поведение при (баллистический предел). Раскладывая выражение в скобках под интегралом при малых , получим , то есть в этом пределе проводимость системы определяется ее размерами. В противоположном пределе

(3.8)

и .

Выпишем также выражение для приведенной проводимости тонкой пленки при z/2, полученное из формулы (3.4):

Наряду с квантовым размерным эффектом существует и квазиклассический, который может быть получен из уравнения Больцмана, дополненного граничным условием, описывающим рассеяние электронов на поверхностных дефектах (см., например, Окулов…). Покажем, как этот эффект может быть получен исходя из формулы Кубо.

Предположим, что одна из поверхностей пленки «грязная», и опишем рассеяние на этих дефектах в приближении когерентного потенциала. Тогда соответствующая возмущенная функция Грина может быть найдена из уравнения Дайсона:

, (3.9)

где -когерентный потенциал примесного слоя, и мы поместили «грязный» слой не на самой поверхности, где электронная плотность равна нулю, а на некотором расстоянии от нее. Из уравнения (3.9) можно найти, что

. (3.10)

Подставляя (3.10) в (3.9), получим выражение для возмущенной функции Грина, а добавочный член в выражении для электропроводности будет иметь вид:

(3.11)

Или:

(3.12)

где

. (3.13)

Пренебрежем квантовыми эффектами порядка . Тогда:

. (3.14)

Будем считать, что действительная часть когерентного потенциала уже учтена в перенормировке спектра, то есть и, кроме того, введем обозначение , где играет роль коэффициента диффузного отражения от поверхности, который был введен как некий эмпирический параметр в работах, посвященных исследованию квазиклассического размерного эффекта на базе уравнения Больцмана. В описываемом же подходе этот параметр может быть вычислен в единой самосогласованной схеме с решением уравнения для когерентного потенциала и уравнения для функций Грина. Тогда с точностью до членов второго порядка по

получим:

. (3.15).

Будем считать, что толщина пленки достаточна для того, чтобы осцилляции оказались значительно сглаженными, поэтому усредним выражение (3.15) по этим осцилляциям. Покажем на примере, как можно это сделать. Представим выражение в виде произведения бесконечных убывающих геометрических прогрессий: (3.16)

Обе прогрессии действительно являются убывающими ввиду наличия в и мнимой части. Теперь, чтобы избавиться от осцилляций, достаточно в двойной сумме оставить лишь члены с и вновь просуммировать геометрическую прогрессию, после чего получим:

. (3.17)

Выполняя таким же образом усреднение по осцилляциям в выражении для проводимости, получим:

. (3.18)

Здесь введена длина свободного пробега электрона . Из (3.18) видно, что, как и следовало ожидать, проводимость тонкой пленки уменьшается за счет рассеяния электронов на «грязной» поверхности, что и составляет суть квазиклассического размерного эффекта. Выполнив в (3.18) формальный предельный переход , легко увидеть, что проводимость за счет такого рассеяния уменьшается в два раза. Подчеркнем, что такой переход в полученном нами выражении в принципе не законен ввиду использованных приближений, однако он правильно передает тенденцию.