Глава 1. Теория квазистатического линейного отклика. Адиабатический случай. Формула Кубо – Гринвуда.

Рассмотрим систему, которая находилась в состоянии термодинамического равновесия и описывалась гамильтонианом . Пусть в некоторый бесконечно удаленный момент времени ( ) бесконечно медленно включилось внешнее электрическое поле вида , где . Множитель позволяет учесть адиабатичность включения поля. Тогда зависящий от времени гамильтониан системы будет иметь вид:

, (1.1)

где гамильтониан возмущения в случае однородного электрического поля

. (1.2)

Состояние системы в любой момент времени описывается матрицей плотности , уравнение движения которой - уравнение Лиувилля:

, (1.3)

здесь квадратные скобки обозначают коммутатор двух операторов: . Так как в момент времени система находилась в термодинамическом равновесии, то справедливо утверждение, что , где - равновесная матрица плотности , , T- температура системы, - постоянная Больцмана.

Решение уравнения Лиувилля (1.3) в теории линейного отклика ищется в виде:

, (1.4)

где - линейная по полю добавка. Тогда с точностью до первого порядка по возмущающему полю из уравнения имеем

. (1.5)

Это уравнение легко решается, если использовать представление взаимодействия для входящих в него операторов. Напомним, что в представлении взаимодействия зависящий от времени гайзенберговский оператор записывается в виде:

, (1.6)

здесь - гамильтониан невозмущенной полем системы. Тогда в гайзенберговском представлении для оператора из равенства (1.4) следует:

, (1.7)

Учитывая, что

(1.8)

и подставляя выражение (1.8) в уравнение (1.6), умноженное слева на множитель , а справа на множитель , получим, учитывая явный вид гамильтониана возмущения , уравнение для оператора :

. (1.9)

Дополним это уравнение граничными условиями в момент включения поля

, (1.10)

и в момент наблюдения

(1.11)

Решение (1.9) может быть записано в виде:

, (1.12)

здесь .

Введем функцию Грина как резольвенту:

, (1.13)

тогда окончательно решение уравнения (1.9) примет вид

. (1.14)

Найдем плотность тока, текущего по проводнику. Для этого определим плотность тока, текущего в направлении оси ( ):

, (1.15)

здесь - заряд электрона, - концентрация носителей тока (электронов), - оператор скорости электрона в направлении , знак означает операцию взятия следа (свертки). Подставляя в выражение (1.15) оператор из (1.14), получим

(1.16).

При проведении конкретных расчетов пользоваться оператором матрицы плотности не всегда удобно. Избавимся от него в правой части формулы (1.16)

с помощью формулы, полученной в работе Р.Кубо [ссылка на «Вопросы квантовой теории необратимых процессов»]:

, (1.17)

которую легко вывести, если переписать ее в матричной форме в представлении, в котором оператор диагонален, и воспользоваться видом оператора в представлении взаимодействия.

Итак, учитывая выражение для коммутатора , а также с помощью формулы (1.17), для тензора проводимости ( здесь ), получаем

=

(1.18)

Учитывая, что

, (1.19)

преобразуем выражение (1.18). Получим:

(1.20)

Это и есть формула Кубо для линейного отклика на внешнее воздействие.