Задача 5. Вычисление тока и торка в неколлинеарной магнитной структуре.

1. Техника Келдыша для неколлинеарной магнитной структуры

В неколлинеарноймагнитной структуру, изображенной выше и состоящей из двух ферромагнитных металлов со спин-зависящим потенциальным барьером, кроме угловой зависимости тока можно наблюдать и сравнительно недавно открытый эффект спинового торка, то есть изменения взаимной ориентации намагниченностей при протекании спин-поляризованного тока. Методика расчета этих величин такая же, как в коллинеарной структуре, за исключением того, что ось квантования в правой области наклонена по углом , и все спиновые состояния являются смешанными. Поэтому при движении электрона как со спином по намагниченности («вверх»), так и электронов со спином «вниз» в результате отражения от потенциального барьера и как следствие непрерывности волновых функций возникают оба спиновых состояния. В последствие дополнительным индексом спина мы будем обозначать происхождение этих состояний.

2. Система уравнений Шредингера для неколлинеарной структуры

Система уравнений Шредингера для неколлинеарной структурой и для электронов проводимости с расщепленной по спину зоной может быть записана в виде: (V.1),

где Е – энергия туннелирующего электрона, - дно зоны проводимости со спином .

В левой области =0, и уравнения (V.1) «расцепляются», и решения имеют вид с корнями для функций со спином «вверх», «вниз» соответственно, где - энергетический параметр, по которому проводится интегрирование в пределах от 0 до eV. Будем считать, что при протекании тока на интерфейсе в следствие шарвиновского сопротивления происходит скачек потенциала V, тогда дно обеих спиновых подзон проводимости опускается на величину eV. Подставляя в систему уравнений решение в виде экспоненты, найдем корни , причем обе экспоненты входят в линейной комбинации как в , так и в . Поскольку в правой области уравнения связаны, то и коэффициенты в линейной комбинации и для этих функций так же связаны. Подставляя по очереди экспоненты в уравнения (2.1), получим соотношения:

(V.2)

2. Волновые функции электрона, падающего слева со спином «вверх»

Найдем нормированные на единичный поток волновые функции электрона, падающего со спином «вверх» слева, используя условие непрерывности функций и их производных на границе, а также (2.2). Функции выбираем в виде:

(V.3)

При записи искомых функций учтено, что в первой области для электрона с противоположным спином есть только отраженная волна, а индекс в скобках указывает направление спина падающего электрона. Граничные условия дают систему уравнений:

(V.4)

В результате решения системы получим функции:

(V.5)

3. Волновые функции электронов, падающих справа со спином, параллельным М₁

Поскольку ось квантования в правом электроде повернута, состояние электрона со спином, параллельным М₁ является смешанным, поэтому функции выбираются таким образом, чтобы поный поток равнялся 1:

(V.1).

Граничные условия дают систему уравнений:

(V.2).

Решение (3.2) дает функции:

(V.3).

Далее необходимо построить неравновесную функцию Келдыша

(3.4) ,

где - фермиевские функции распределения в левом и правом электродах соответственно, и затем вычислить ток по формуле:

(3.5).

Выполняя указанные в (3.5) операции, получим:

(V.6).

Аналогично:

(V.7).

Для спина противоположного направления необходимо произвести замены . Наиболее просто получается выражение для тока в линейном по V приближении, когда

, и . Тогда полный ток равен

, (V.8).

Из этого выражения легко получить выражения для проводимостей при параллельной и антипараллельной ориентаций намагниченностей и ГМС. Для приведенной структуры представляет интерес также вычисление так называемого спинового торсионного момента или спинового торка, который при достижении некоторого критического значения, зависящего от спин-зависящих параметров структуры и силы тока, может привести к изменению магнитной конфигурации. В технике Келдыша эта величина может быть вычислена по формуле:

, (V.9)

где мнимая часть выражения и есть торк.

Наиболее простое выражение для торка получается в линейном по V приближении:

(V.10).

Наконец, приведем размерные коэффициенты для тока и торка. Для тока - , для торка -- , где а₀ – постоянная решетки, - магнетон Бора, величина представляет собой обменное взаимодействие электронов проводимости с локальными моментами, которое и влияет на магнитную конфигурацию последних.

Список литературы.

1. Ведяев А. В. Использование поляризованного по спину тока в спинтронике (Сессия РАН 27.03.02)//УФН. – 2002. – Т. 172. – №12. – C. 1458-1461.

2. Flatte M. F. Spintronics//IEEE Transactions on electronic devices. – 2007. – Vol. 54. – P. 907-920.

3. Zutic I., Fabian J., Das Sarma S. Spintronics: fundamentals and applications// Rev. Mod. Phys. – 2004. – Vol. 76. – P. 323-386.

4. The Nobel Prize in Physics 2007 Scientific background//Royal Swedish Academy of Sciences. –2007. –9 oct. – http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics//laureates/

/2007/sci.html.

5. Звездин К. А. Что такое спинтроника//Межинститутский семинар по проблемам спиновой электроники и фотоники/ИОФРАН. – 2006. – 14 сен.

6. Fert А., Campbell I.A. Two-current conduction in nickel//Phys. Rev. Lett. – 1968. – Vol. 21. – P. 1190-1192.

7. Binash G., Grunberg P., Saurenbach F. et al. Enhanced magnetoresistance in layered magnetic structures with antiferromagnetic interlayer exchange//Phys. Rev. B. – 1989. – Vol. 39. – P. 4828-4830.

8. Baibich M. N., Broto J. M., Fert F. et al. Giant Magnetoresistance of (001)Fe/(001)Cr magnetic superlattices//Phys. Rev. Lett. – 1988. – Vol. 61. – P. 2472-2475.

9. Grunberg P., Schreiber R., Pang Y. et al. Layered magnetic structures: evidence for antiferromagnetic coupling of Fe layers across Cr interlayers//Phys. Rev. Lett. – 1986. – Vol. 57. – P. 2442-2445.

10. Dieny B., Speriosu V.S., Parkin S. S. P. et al. Giant magnetoresistive in soft ferromagnetic multilayers//Phys. Rev. B. – 1991. – Vol. 43. – P. 1297-1300.

11. Slonczewski J. C. Conductance and exchange coupling of two ferromagnets separated by a tunneling barrier//Phys. Rev. B. – 1989. – Vol. 39. – P. 6995-7002.

12. Slonczewski J.C. Current-driven excitation of magnetic multilayers//J. Magn. Magn. Matter. – 1996. – Vol. 159. – P. L1-L7.

13. Tsoi M. A., Jansen J. M., Bass J. et al. Excitation of a Magnetic multilayer by an electric current//Phys. Rev. Lett. – 1998. – Vol. 80. – P. 4281-4284.

14. Myers E. B., Ralph D.C., Katine J.A. et al. Current-induced switching domains in magnetic multilayer devices// Science. – 1999. – Vol. 285. – P. 867-870.

15. Katine A., Albert F. G., Buhrman R.A. et al. Current-driven magnetization reversal and spin-wave excitations in Co /Cu /Co pillars //Phys. Rev. Lett. – 2000. – Vol. 84. – P. 3149-3152.

16. Zhang S., Levy P. M., Fert A. Mechanisms of spin-polarized current-driven magnetization switching//Phys. Rev. Lett. – 2002. – Vol. 88. – P. 236601 1-4.

17. Zhang S., Li Z. Roles of nonequilibrium conduction electrons on the magnetization dynamics of ferromagnets//Phys. Rev. Lett. – 2004. – Vol. 93. – P. 127204 1-4.

18. Shapiro A., Levy P. M., Zhang S. Self-consistent treatment of nonequilibrium spin torques in magnetic multilayers//Phys. Review B. – 2003. – Vol. 67. – P. 104430 1-17.

19. Berger L. Emission of spin waves by a magnetic multilayer traversed by a current//Phys. Rev. B. – 1996. – Vol. 54. – P. 9353-9358.

20. Berger L. Low-field magnetoresistance and domain drag in ferromagnets//J. Appl. Phys. – 1978. – Vol. 49. – P. 2156-2161.

21. Berger L. Exchange interaction between ferromagnetic domain wall and electric current in very thin metallic films//J. Appl. Phys. – 1984. – Vol. 55. – P. 1954-1956.

22. Berger L. Motion of a magnetic domain wall traversed by fast-rising current pulses//J. Appl. Phys. – 1992. – Vol. 71. – P. 2721-2726.

23. Tatara G., Kohno H. Theory of current-driven domain wall motion: spin transfer versus momentum transfer://Phys. Rev. Lett. – 2004. – Vol. 92. – P. 086601 1-4.

24. Florez S. H., Krafft C., Gomez R.D. Spin-current-induced magnetization reversal in magnetic nanowires with constrictions //J. Appl. Phys. – 2005. – Vol. 97. – P. 10C705 1-3.

25. Xiao J., Zangwill A., Stiles M.D. Spin-transfer torque for continuously variable magnetization//Phys. Rev. B. – 2006. – Vol. 73. – P. 054428 1-10.

26. Хвальковский А.В. Движение доменных стенок электрическим током //Межинститутский семинар по проблемам спиновой электроники и фотоники/ИОФРАН. – 2006. – 26 окт.

27. Кадомцев С. Б. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. – М.: Изд-во: Физматлит, 2001. – С. 8-29.

28. Дьяконов В. П. Mathematica 4 с пакетом расширений. – М.: Изд-во: Нолидж, 2000.

29. Маргулис Б. Е. Системы линейных уравнений. – М.: Изд-во: Физматлит, 1960. – С. 54-81.

30. Yamanouchi M., Chiba D., Matsukura F. et al. Current-induced domain-wall switching in a ferromagnetic semiconductor structure//Nature (London). – 2004. – Vol. 428. – P. 539-542.

122