1.Формализм Келдыша

В неравновесной технике Келдыша ток находится по следующей схеме. Сначала необходимо построить неравновесную функцию Грина

(IV.1),

где - фермиевские функции распределения в левом и правом электродах соответственно, V – падение напряжения, -волновые функции в левой области при падении электрона слева и справа соответственно и зависящие от энергии и от компоненты импульса , параллельного интерфейсу. Волновые функции находятся как решение уравнения

, (IV.2)

где - дно зоны проводимости для спина в левом (l) и правом (r) электродах, E – энергия туннелирующего электрона, U(z) – описывает потенциальный профиль, причем , внутри барьера , где U –высота барьера в отсутствие падения напряжения V, z_1,z₂ –границы левого и правого интерфейсов, . Вне барьера волновые функции имеют вид плоских волн с квазиимпульсами:

для спина по намагниченности , для спина против намагниченности . Для электронов, туннелирующих с уровня Ферми, можно записать . Внутри барьера решение ищем в ВКБ приближении , где . На границах: , где .

2.Волновые функции электронов, падающих слева

Волновые функции для электронов со спином «вверх» (по намагниченности 1-й области), нормированные на единичный поток, при антипараллельной ориентации намагниченностей и выбираются в виде:

(IV.3)

Из условий непрерывности функций и их производных на границах z_1,z₂ следует:

(IV.4)

где

(IV.5)

b=z₂-z₁. Решение системы (IV.3) имеет вид:

(IV.6)

При параллельной ориентации намагниченностей надо выполнить замену . Для падающего электрона со спином «вниз» выполняются замены .

3.Волновые функции электронов, падающих справа

Аналогичным образом находятся «правые» функции, которые выбираются в виде:

(IV.7)

Граничные условия дают систему уравнений:

(IV.8)

Это дает функции:

(IV.9)

4.Вычисление тока при параллельной и антипараллельной ориентациях и

В формализме Келдыша ток находится по формуле:

. (IV.10)

Неравновесная функция Грина для электронов со спином «вверх» при AP конфигурации в левой области имеет вид:

(IV.11)

Выполняя в (IV.10) дифференцирование, получим с точностью до быстро осциллирующих членов:

(IV.12) Подставляя выражения для , получим, что оба тока пропорциональны разности f(E)-f(E-eV), что определяет пределы интегрирования по Е от E_F-eV до E_F. Для параллельной ориентации получим соответственно:

(IV.13)

Для определения ТМС для простоты получим его выражение в линейном пределе, тогда . Все остальные параметры можно взять при V=0 и E=E_F, тогда , и . Кроме того, для достаточно толстого или высокого барьера во всех выражениях оставим только старшую экспоненту, которая в линейном пределе равна просто . Тогда

(IV.14)

Коэффициент пропорциональности между током и напряжением есть проводимость , и

.

(IV.15)

Из-за быстрого убывания экспоненты наибольший вклад в эффект дают электроны, падающие перпендикулярно, и вклад от них равен:

. (IV.16)