Задача ш. Вычисление проводимости пространственно неоднородной структуры с помощью формализма Кубо-Гринвуда

Ш.1 Функция линейного отклика на внешнее электрическое поле в формализме Кубо

, (Ш.1)

где - оператор z – компоненты скорости, - опережающая и запаздывающая функции Грина в смешанном координатно-импульсном представлении, позволяющем явно учесть пространственную неоднородность структуры, состоящей из двух металлов с разными энергиями (импульсами) Ферми, которая может быть найдена из уравнения:

, (Ш.2)

где - волновой вектор вдоль границы слоев, i=1,2 –номер слоя, - дно зоны проводимости соответствующего слоя, - описывает уширение уровней за счет рассеяния в соответствующем слое, который может быть найден либо в приближении когерентного потенциала либо в борновском приближении. Дельта-функция в правой части означает, что функция Грина не аналитична и ее производная терпит скачок при . Можно убедиться, что решение, удовлетворяющее нулевым граничным условиям на бесконечности, имеет вид . Подставив в (Ш.2), получим:

, (Ш.3)

где - длина свободного пробега в i-том слое, -импульс Ферми и - действительная и мнимая части квазиимпульса в этом слое, причем мнимая часть означает, что вследствие рассеяния квазиимпульс уже не является хорошим квантовым числом.

Решением (Ш.2) для данной структуры являются шесть функций:

(Ш.4)

здесь нижние индексы у функций Грина означают области, в которых лежат координаты соответственно. Часть коэффициентов можно исключить, используя аналитические свойства функции Грина при :

(Ш.5)

Такой вид уравнения имеют, если мы измеряем Функцию Грина в единицах обратной энергии, в дальнейшем примем систему единиц, когда G(zz’) измеряется в единицах длины . Аналогично,

(Ш.6)

Ш.2 Решение системы уравнений (1.1-1.5)

Из (1.4), (1.5) следует:

, . (Ш.7)

Остальные коэффициенты находятся из граничных условий для функций Грина и их производных при z=0. Запишем эти условия:

. (Ш.8)

Решая систему (Ш.8), получим функции:

(Ш.9)

Аналогично:

(Ш.10).

Ш.3 Вычисление проводимости в диффузном режиме.

Для простоты примем, что металлы 1 и 2 отличаются только длинами свободного пробега. Кроме того, будем считать, что , что выполняется для большинства металлов, поэтому всюду, кроме показателей экспонент , будем считать чисто действительным и равным с. Приведем полезное соотношение: , то есть . Подставим найденные функции в (1.1) и найдем выражение, которое в последствие надо будет проинтегрировать по , , и запишем ток, который должен быть постоянным в любом сечении структуры, то есть не зависеть от z. С точностью до коэффициента:

или, умножая числители и знаменатели на с, получим:

, (Ш.11)

здесь - эффективные поля, которые подбираются так чтобы обеспечить однородность тока. На самом деле для пространственно неоднородных структур проводимость вычисляется по более сложной формуле, включающей так называемые вершинные поправки, однако в свое время Леви с соавторами показал, что введение эффективных полей позволяет ограничиться формулой типа (Ш.1). Из (Ш.11) видно, что ток не будет зависеть от z, если выполняется соотношение . Будем считать, что электроды присоединены к структуре на расстояниях а и b от интерфейса, тогда полное падение напряжения равно: , и сопротивление структуры, соответственно:

, (1.12)

где -удельное сопротивление i –того металла , - его сопротивление на единицу площади поперечного сечения, то есть в этом простом случае формула Кубо дает просто закон Ома. Однако эта же формула позволяет найти более сложные характеристики системы, например, так называемое шарвиновское сопротивление, связанное с наличием потенциального барьера на границе металлов. Покажем, как выполнить его вычисление в баллистическом режиме.

Ш.3 Шарвиновское сопротивление в баллистическом режиме

Рассмотрим противоположный случай, когда рассеяние отсутствует, и все - действительные величины. Сопротивление формируется за счет отражения от потенциального барьера. Подставляя соответствующие функции в (Ш.1) , получим с точностью до быстро осциллирующих членов :

. (Ш.13)

Так как

,

то полная проводимость

. (Ш.14)

Верхний предел интегрирования по выбран из тех соображений, чтобы все , входящие в (Ш.14) были действительны. Быстро осциллирующие члены опущены на том основании, что при интегрировании по они дадут 0. Точно такая же проводимость может быть получена и для z>0. Заметим, чтопри отсутствии барьера проводимость системы определяется только ее размерами (мезоскопический предел).

Ш.5 Общий случай

(Ш.15).

Для того, чтобы ток был непрерывным, должно выполняться условие:

(Ш.16).

При этом падение напряжения равно:

. (Ш.17)

Отсюда сопротивление структуры:

. (Ш.18)

Ш.6 Применение расчетов к определению ГМС в магнитных многослойных наноструктурах.

Будем считать, что представленная на рисунке структура представляет собой два соединенных в одну цепь ферромагнетика со спин-зависящим сопротивлением и спин-зависящим потенциальным барьером, так что представляет собой сопротивление спинового канала со спином, параллельным намагниченности («вверх»), а - со спином «вниз», причем эти каналы включены параллельно, а потенциальный барьер определяется разностью фермиевских импульсов для электронов с разными спинами. Ферромагнитные электроды могут быть намагниченны параллельно, тогда для каждого канала r=0, или антипараллельно. При антипараллельной ориентации проводимость обоих каналов равна (Ш.18), поэтому полное сопротивление в два раза меньше (Ш.18). При параллельном r=0, и . Гигантское магнетосопротивление (ГМС) в этом случае равно:

(Ш.19)

В чисто диффузном случае , а в баллистическом .

Задача IV. Вычисление туннельного тока и ТМС

Изображенная туннельная структура, в которой при определенных условиях можно наблюдаеть эффект гигантского туннельного магнитосопротивления (ТМС), используется в новых устройствах магнитной памяти. В качестве электродов используется ферромагнитный 3d- металл (или разные металлы или сплавы), а в качестве изолирующего тонкого (порядка нанометров) барьера – окисел алюминия или магния. Для расчета тока и ТМС в данном сучае достаточно ограничиться баллистическим режимом, поскольку можно считать, что все падение напряжения происходит в барьере и определяется его прозрачностью.