Приложение I. Задачи Задача 1 Расчет функции Грина тонкой пленки.

Уравнение для функции Грина тонкой пленки с толщиной D в смешанном координатно-импульсном представлении:

(I.1)

где - когерентный потенциал, описывающий рассеяние на примесях (будем считать, что действительная часть когерентного потенциала уже включена в перенормировку спектра). Функция Грина непрерывна при , а ее производная терпит при этом скачок . Кроме того, функция Грина, так же, как и волновая функция, имеет узлы на поверхностях пленки. Решение (1) ищем в виде , где

(I.2)

Учтем, что , где l -длина свободного пробега электронов, поэтому можно записать

(I.3)

Учитывая сделанные выше замечания, запишем систему уравнений для функций

. (I.4)

Из граничных условий:

(I.5)

В дальнейшем включим коэффициент 2i в искомые коэффициенты. Из аналитических свойств функции Грина при z=z’ следует

(I.6)

Таким образом, решение уравнение для функции Грина с соответствующими граничными условиями имеет вид:

, . (I.7)

Легко убедиться, что первая производная испытывает скачок при z=z’:

(I.8)

Проверим, что найденная функция действительно удовлетворяет уравнению (I.1). Для этого запишем ее в виде

(I.9)

Первая часть второй производной удовлетворяет уравнению с нулевой правой частью. Преобразуем оставшийся член:

(I.10)

Мы убедились, что найденная функция удовлетворяет уравнению (I.1).

Задача 2.Вычисление электропроводности тонкой пленки.

Для вычисления удельной электропроводности воспользуемся формулой Кубо:

, (II.1)

где а₀-постоянная решетки, S – площадь двумерной элементарной ячейки ( ), -x-компонента фермиевской скорости в плоскости пленки. Интеграл по угловой части в (II.1) дает:

(II.2)

Выполним теперь интегрирование по координате:

(II.3)

. (II.4)

Подставляя (II.4) в (II.3), получим

+

₊ =

(II.5)

После несложных преобразований (II.5) приводится к виду

(II.6)

Зависящую от z часть усредним по толщине пленки. Преобразуя произведения функций в суммы (разности) и интегрируя от нуля до D, получим усредненный вклад от последних двух вкладов:

. (II.7)

Таким образом, после выполнения всех преобразований формула (II.1) приобретает вид:

(II.8)

Здесь учтено, что cd=k_f/l, а также учли, что k является достаточно хорошим квантовым числом, поэтому будем считать, что d<<c. Кроме того, воспользуемся соотношениями :

,

где - время релаксации, - концентрация электронов проводимости, - электропроводность массивного образца. Поэтому можно записать:

. (II.9).

Легко убедиться, что в пределе и без учета квантовых поправок , а вычисленная удельная проводимость превращается в проводимость массивного образца. В случае же тонкой пленки эта проводимость осциллирует в зависимости от толщины пленки и меньше проводимости . В противоположном пределе разложим функции в подынтегральном выражении по их аргументам (до усреднения по толщине пленки, которое в данном случае не законно), получим:

,

то есть в этом пределе проводимость пленки определяется ее размерами.