Глава 7. Квзи-двумерный Аномальный Эффект Холла
Многослойные структуры,
состоящие из нескольких ферромагнитных
нанослоев, разделенных изолирующими
барьерами, в настоящее время используются
в пилотных образцах, используемых в
спинтронике для хранения и записи
информации с использованием эффектов
гигантского сопротивления (ГМС) и эффекта
спинового торка (СТ). С другой стороны,
геометрические параметры таких структур
позволяют считать их квази-двумерными
объектами, и позволяют исследовать
специфику различных явлений, связанную
с низкой размерностью. В качестве примера
исследуем соотношение между Аномальным
Эффектом Холла (АЭХ) и электросопротивлением
для двух- и трехмерных систем. Для этого
рассмотрим трехслойную структуру,
состоящую из тонкого ферромагнитного
слоя толщины
,
заключенную между двумя изолирующими
слоями и намагниченную перпендикулярно
плоскостям (вдоль оси OZ
) и найдем диагональную и недиагональную
проводимости в случае, когда направляющий
ток течет параллельно плоскости слоев
(XOY ). В этом случае спин-
орбитальное взаимодействие электронов
проводимости приводит к появлению
поперечного поля Холла. В первой части
мы рассмотрим механизм асимметричного
рассеяния на объемных и поверхностных
примесях, приводящий к появлениию этого
эффекта, и найдем тензор электропроводимости,
используя формализм Кубо-Гринвуда. Мы
сравним найденную квази-двумерное
холловское сопротивление
с этой величиной для массивного образца
. Затем мы учтем тот факт, что при
современном уровне технологии
приготовления таких структур невозможно
получить образцы с идеальными интерфейсами,
а это означает, что всегда имеются
объемные дефекты формы, которые искажают
линии тока. Этот механизм также приводит
к возникновению поперечного поля.
Назовем его географическим механизмом
и рассмотрим диффузный режим появления
этого поля с учетом спин-орбитальных
поправок в коэффициентах диффузии.
а) АЭХ и механизм асимметричного рассеяния в трехслойной структуре
Выберем геометрию, в которой ток течет вдоль оси OY, а поле Холла имеет компоненту вдоль оси OX. В этом случае выражения для плотности тока, поля Холла и холловского сопротивления будут иметь вид:
(6.1)
здесь
-
диагональная (
)
и недиагональная (
)
проводимости,
-
поле Холла. Для вычисления
будем использовать формулу Кубо с
вершинными поправками, ответственными
за поперечные компоненты проводимости:
(6.2)
где
есть
вектор скорости, направленный вдоль
слоев пленки,
- опережающая и запаздывающая функции
Грина в смешанном координатно-импульсном
представлении. Для вычисления y-x
компоненты тензора электропроводности
мы используем теорию возмущений в
линейном по спин-орбитальному
взаимодействию приближении:
(6.3)
где
и
есть матричные элементы матрицы рассеяния
и спин-орбитального взаимодействия,
соответственно, причем эти величины
зависят от типа атома, находящегося в
узле с координатами
;
-
единичный вектор намагниченности,
ориентированный вдоль оси OZ,
в этом представлении параметр спин –
орбитального взаимодействия
, где
-константа
спин-орбитального взаимодействия для
узла с номером n,
имеющего координату
,
и a0 - постоянная
кристаллической решетки. Из определения
(6.3) следует, что
.
Для Т - матрицы рассеяния в одноузельном приближении можно написать:
(6.4)
где
есть
одноузельная энергия. Для неупорядоченного
бинарного сплава
,
у которого концентрации атомов A
и B равны
и
,
соответственно, величины, входящие в
формулу (6.4) принимают значения
,
(z)
- когерентный потенциал, учитывающий
рассеяние как на интерфейсах, так и в
объеме образца, и который может быть
найден как решение самосогласованных
уравнений:
(6.5)
Далее для нахождения
диагональной и недиагональной
электропроводности
используем формулу Кубо (6.2) с функциями
Грина, диагональными по
и
перенормированными с учетом когерентного
потенциала, причем недиагональную
компоненту мы должны усреднить по
распределению примесей, что приводит
к следующему выражению:
(6.6)
где
есть
положение примеси. В (6.6) мы удержали
лишь не осциллирующие члены (узлы
совпадают) и учли, что при полностью
случайном распределении атомов А
и В по узлам кристаллической решетки
(с вероятностью
и
),
и в приближении короткодействующего
потенциала, сумма по
дает нам
-
функцию Дирака:
.
Введем среднее значение константы спин
– орбитального взаимодействия
и
разность этих констант:
. Тогда справедливы выражения:
(6.7)
Проведя усреднение произведения матрицы рассеяния на константу спин – орбитального взаимодействия в формуле (6.6) получим следующее выражение:
(6.8)
С учетом (6.5) после усреднения по конфигурациям сплава в (6.6) мы должны оставить в (6.8) лишь последний член. Подставив в (6.8) перенормированную функцию Грина, мы получим:
(6.9)
Введем обозначение
(6.10)
Уравнение (6.4) для когерентного потенциала, можно записать в виде:
(6.11)
где введены обозначения
.
Обычно начало отсчета
энергии выбирается так, чтобы
,
и в этом случае
.
Впоследствии будем
считать, что параметр рассеяния на
объемных примесях и их концентрация
достаточно малы, поэтому для всех
величин, зависящих от этих параметров
достаточно удержать лишь главные члены.
В этом случае мнимая часть
имеет порядок
,
поэтому для объемной величины
мы будем использовать приближенное
выражение:
(6.12)
Для величин же, зависящих от параметров интерфейса, будем при расчетах использовать полную самосогласованную схему. В обоих случаях будем считать, что действительная часть когерентного потенциала уже включена в перенормировку спектра, и фигурирующая в формулах величина когерентного потенциала является чисто мнимой.
Нулевая функция Грина,
найденная из уравнения Шредингера в
представлении равна (в дальнейшем будем
использовать единицы измерения, в
которых обратная энергия имеет размерность
,
и лишь в конечных выражениях будем
использовать правильные размерности
с учетом всех опущенных размерных
констант):
(1.13),
здесь 0 и z1 есть координаты левого и правого интерфейсов и -толщина ферромагнитного слоя,
,
,
,
- квазиимпульс Ферми и длина свободного
пробега для электронов со спином,
направленным вдоль намагниченности
(«вверх» -
),
, U – высота потенциального
барьера. Для электронов со спином,
направленным против направления
намагниченности (спином «вниз» -
),
будем использовать индекс 2.
Полюса функции Грина (1.13) определяют пространственно квантованный энергетический спектр электронов проводимости тонкого ферромагнитного слоя.
а) Вычисление объемной квазидвумерной (2-D) диагональной проводимости.
Чтобы учесть в формуле
(6.2) при
не только объемное, но и интерфейсное
рассеяние на примесях, ответственное
за размерный эффект, перенормируем
функцию Грина, используя уравнение
Дайсона:
.
(6.14)
После интегрирования
по
в пределах от 0 до z для
и
от 0 до z для
получим в единицах
:
(6.15)
Здесь знаменатель в подынтегральном выражении равен
(6.16)
- элементарная проводимость одного
канала.
Для достаточно толстого образца мы можем усреднить выражение (6.15) по квантовым осцилляциям, так что усредненная проводимость для электронов со спином «вверх» оказывается равной:
(6.17)
Первый член в (6.17) совпадает с удельной проводимостью массивного образца, а второй член представляет собой вклад от квазиклассического размерного эффекта. Полная проводимость является суммой по двум спиновым каналам, и на рисунке 1. приведена ее зависимость от толщины пленки. Использовались следующие параметры:
;
;
;
;
c=0,3; cbulk=0,1;
;
.
б) Вычисление недиагональной проводимости, зависящей от спин-орбитального взаимодействия на интерфейсе
Займемся теперь
вычислением недиагональной части
электропроводности
по формуле (6.6) с функцией Грина (6.14) и в
предположении
.
После интегрирования по
получим:
(6.18)
Эта проводимость осциллирует в зависимости от толщины образца и расстояния от интерфейса, который расположен на плоскости с координатой z=0. Более наглядным становится ее поведение после усреднения по осцилляциям:
(6.19)
Аналогичные вычисления
были выполнены для спина “вниз”. На
рис.2 приведена зависимость от толщины
суммарной недиагональной проводимости
с
теми же параметрами, что и на рис.1
Поскольку функция
достигает
максимума при z=0 то
очевидно, что проводимость
убывает при
.
Если усреднить
по
толщине, то возникнет добавочный фактор
, так что для массивного образца
этот
вклад стремится к нулю.
Помимо этого мы
вычислим объемный вклад
по формуле (6.6) но с дополнительным
интегрированием по
и
параметрами рассеяния для объема,
используя приближение Борна для
когерентного потенциала
.В отсутствие рассеяние на интерфейсе
получим:
(6.20)
Проведя усреднение по осцилляциям, для полной проводимости получим:
.
(6.21)
Из полученного выражения
следует, что эта проводимость осциллирует
для достаточно тонкого образца, но
стремится к некоторому постоянному
значению при
, которое совпадает со значением для
массивного образца. Если учесть также
и перенормировку функции Грина за счет
рассеяния на интерфейсе, то выражение
для
становится
слишком сложным, поэтому приведем на
рис.3 лишь результат численного расчета
зависимости сопротивления Холла
от толщины с учетом перенормированной
функции Грина. Использовались параметры
;
;
.
Геометрический механизм АЭХ.
Рассмотрим следующую геометрию эффекта: пусть ток течет вдоль тонкого слоя толщины , находящегося между двумя изолирующими барьерами, а также намагниченного вдоль оси z, перпендикулярной плоскости слоя. Поверхность интерфейса не идеальна и имеет топологические дефекты, которые мы представим как цилиндры радиуса R. Линии тока вблизи таких дефектов будут повторять их форму.
Уравнения диффузии для зарядового и спинового токов в отсутствие прецессии имеют вид:
( 2.1).
Для стационарного
случая
.
Для токов можно получить систему
уравнений:
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5).
Здесь мы учли, что
,
и есть зарядовый и спиновый токи,
-компоненты
тензора диффузии.are the
components of
diffusion coefficient
tensors.Недиагональные
компоненты x-y,
y-x этого
тензора пропорциональны спин-орбитальному
взаимодействию и анти-симметричны при
перестановке x-y.
Кроме того, для кристаллов с кубической
симметрией
.
Подставим производные of
(2.2-2.5) в (2.1) и после не сложных преобразований
получим два уравнения:
(2.6);
(2.7).
Также для
:
(2.8)
Для дефектов цилиндрической формы удобно найти решение в полярных координатах, поэтому перепишем (2.8) в виде:
(2.9),
где
есть угол между осью x и
радиус-вектором
с координатами (x, y).
Решение (2.9) имеет вид
,
где
(2.10).
Так как
, уравнение (2.9) преобразуется к виду
(2.11).
Его решение есть [5]:
(2.12),
где
есть
решение модифицированного уравнения
Бесселя ([5] p.748).
Из (2.6) следует, что
;
(2.13).
Решение
имеет вид :
(2.14).
Учитывая (2.6) мы можем
переписать (2.2-2.3) в виде:
(2.15).
Далее удобно использовать
полярные координаты и записать для
токов их
проекции. Получим:
Для обычного члена
(2.16).
Для добавочных
диффузионных членов:
(2.17).
Теперь выполним некоторые преобразования:
(2.18).
Используя выражения
для производных
по x, y,
которые не сложно получить, запишем
зарядовый и спиновый токи в полярных
координатах:
(28);
(2.19);
(2.20).
Для нахождения
неизвестных коэффициентов в (2.12) и
(2.14) используем граничное условие,
полагая, что на поверхности цилиндра
проекция
токов равна нулю:
(2.21)
Это дает систему:
(2.22)
С решением:
и
(2.23);
проекция спинового тока также равна нулю, поэтому можно записать:
(2.24).
Затем используем некоторые свойства функций Бесселя ([5], p.748):
(2.25)
(2.26), где
.
Подставляя (2.25-2.26) в (2.24), получим:
(2.27
откуда следует, что
;
(2.28),
(2.29).
Теперь мы можем
определить добавочное поле АЭХ, связанное
с искажением линий тока цилиндрическими
дефектами интерфейса, считая, что поле
Холла измеряется между плоскостями y=a
and y=-a.Это
поле пропорционально величине n(a)-n(-a).
Так как
, то после интегрирования по
от
0 до
для
левой границы и от
до
2
для
правой, получим:
=
(2.30).
Второй вклад, возникающий
от члена
,
равен:
(2.31).
Наконец, мы должны умножить (2.30) и (2.31) на концентрацию дефектов и заряд электрона.
1. J.S. Moodera, L.R. Kinder, T.M. Wong and R. Meservey, Phys. Rev. Letters 74 (1995), p. 3273
2.J.C. Slonczewski, J. Magn. Magn. Mater. 159 (1996) L1
3.R. Karplus and J.M. Luttinger, Phys. Rev., 95 (1954), p.1154
4.S. Zhang, P.M. Levy and A. Fert, Phys. Rev. Letters 88 (2002), p.236601
5. A.N. Tikhonov and A.A. Samarskii “Equations of Mathematical Physics”, PERGAMON PRESS Oxford. London. New York. Paris1963, p.656)