Статическая детерминированная модель с дефицитом

В рассматриваемой модели будем полагать наличие дефицита. Это означает, что при отсутствии запасаемого продукта, т.е. при J(t) = 0 спрос сохраняется с той же интенсивностью , но потребление запаса отсутствует - b(t) = 0, вследствие чего накапливается дефицит со скоростью b. График изменения уровня запаса в этом случае представлен на рис.3. Убывание графика ниже оси абсцисс в область отрицательных значений в отличие от графика на рис.2 характеризирует накопление дефицита.

Из рис.3 видно, что каждый период «пилы» разбивается на два временных интервала, т.е. T=T₁+T₂, где T₁ – время, в течение которого производится потребление запаса, T₂ – время, когда запас отсутствует и накапливается дефицит, который будет перекрыт в момент поступления следующей партии.

Необходимость покрытия дефицита приводит к тому, что максимальный уровень запаса s в момент поступления каждой партии теперь не равен ее объему n, а меньше его на величину дефицита n-s, накопившегося за время Т₂ (рис. 3).

Из геометрических соображений легко установить, что

(17)

В данной модели в функцию суммарных затрат С наряду с затратами С₁ (на пополнение запаса) и С₂ (на хранение запаса) необходимо ввести затраты Сз - на штраф из-за дефицита, т.е. C=C₁+C₂+C_3.

Затраты С₁, как и ранее, находим по формуле (11). Затраты С₂ при линейном расходе запаса равны затратам на хранение среднего запаса, который за время потребления Т₁ равен sT₁/2; поэтому с учетом (7) и (5) эти затраты составят

= (18)

При расчете затрат С₃ будем считать, что штраф за дефицит составляет в единицу времени с₃ на каждую единицу продукта. Так как средний уровень дефицита за период Т₂ равен (n-s) T₂/2, то штраф за этот период Т₂ составит с₃(n-s)T₂, а за весь период θ с учетом (7) и (19)

(19)

Теперь, учитывая (12), (18) и (19), суммарные затраты равны

(20)

Нетрудно заметить, что при n=s формула (19) совпадает с ранее полученной (8) в модели без дефицита.

Рассматриваемая задача управления запасами сводится к отысканию такого объема партии n и максимального уровня запаса s, при которых функция С (9) принимает минимальное значение. Другими словами, необходимо исследовать функцию двух переменных С (n,s) на экстремум. Приравнивая частные производные ∂C/∂n, ∂C/∂s к нулю, получим после преобразований систему уравнений:

(21)

Решая систему, получаем формулы наиболее экономичного объема партии ñ₀ и максимального уровня запаса s̃₀ для модели с дефицитом:

(22)

(23)

Величина (24)

называется плотностью убытков из-за неудовлетворенного спроса и играет важную роль в управлении запасами. Заметим, что 0≤ρ≤1. Если значение с₃ мало по сравнению с с₂, то величина ρ близка к нулю: когда с₃ значительно превосходит с₂, то ρ близка к 1. Недопустимость дефицита равносильна предположению, что с₃ = ∞ или ρ = 1.

Используя (24), основные формулы (22) и (23) можно записать компактнее:

(25)

(26)

В силу (17) и (26) T₁/T = s̃₀/n ₀ = ρ и Т₂/Т = (n ₀ - s̃₀)/ n ₀ =1-ρ. Поэтому утверждение о том, что плотность убытков из-за неудовлетворенного спроса равна ρ, означает, что в течение (1- ρ)100% времени от полного периода T запас продукта будет отсутствовать.

Из сравнения формул (25) и (10) следует, что оптимальные объемы партий для задач с дефицитом и без дефицита при одинаковых параметрах связаны соотношением

(27)

откуда вытекает, что оптимальный объем партии в задаче с дефицитом всегда больше (в 1/ раз), чем в задаче без дефицита.

►16.5. Найти наиболее экономичный объем партии и интервал между поставками, сохраняя условия задачи 16.2, кроме недопустимости дефицита, если известно, что отсутствие на сборке каждой детали приносит в сутки убытки в размере 3,5 ден. ед.

Решение. По условию с₃ = 3,5. Ранее было получено по формуле (9) n₀=4335 и по (15) Т₀=13,2. Найдем плотность убытков из-за неудовлетворенного спроса по формуле (24): ρ=3,5/(0,35 + 3,5)=0,909, т.е. 100(1-0,909)=9,1% времени между поставками детали на сборке будут отсутствовать.

Теперь оптимальный размер партии по формуле (27) ñ₀ = 4335/ = 4547. В силу (15) пропорционально увеличению ñ₀ должен увеличиться интервал между поставками, т.е. ^{T̃0 = T0/ = 13,2/ = 13,8 ≈14 дней.}