Приложения дифференциального исчисления фоп

Задание N 3. График функции  обращён выпуклостью вверх на промежутке …

Варианты ответа:

Решение:

Область определения данной функции – вся числовая прямая. Исследование проведём с помощью достаточного признака выпуклости. Если на отрезке  функция  непрерывна и внутри него вторая производная , то её график обращён на этом отрезке выпуклостью вверх. Найдём производную второго порядка функции: , . Решим неравенство: . Следовательно, график функции обращён выпуклостью вверх на промежутке .

Задание N 4. Промежутки вогнутости (выпуклости вниз) графика функции  имеют вид …

Варианты ответа:

Решение:

Область определения данной функции – вся числовая прямая. Исследование проведем с помощью достаточного признака вогнутости (выпуклости вниз). Функция  вогнута на промежутке, если ее вторая производная положительна всюду на этом промежутке. Найдем производную второго порядка функции: , . Решим неравенство: . Учитывая, что , получим  и . Следовательно, график функции выпуклый вниз на промежутке .

Задание N 4. Минимум функции  равен …

Варианты ответа: – 2 3 – 11

Решение:

Точками экстремума непрерывной функции являются те критические точки, при переходе через которые меняется знак первой производной функции (первое достаточное условие экстремума). Область определения данной функции – вся числовая прямая. Найдем критические точки функции: . Исследование характера этих критических точек можно провести с помощью первого достаточного условия экстремума. Найденные точки разбивают область определения функции на промежутки, на каждом из которых производная сохраняет знак. Методом «пробной точки» определим знак производной в каждом из полученных промежутков: Тогда в силу первого достаточного условия экстремума  – точка минимума функции. Следовательно, минимум функции равен: .

Задание N 4. Сумма наибольшего и наименьшего значений функции  на отрезке  равна …

Варианты ответа: 6 0 3,5 - 4,5

Решение:

Данная функция непрерывна на всей числовой прямой, а значит, и на данном отрезке. Как известно, такая функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений либо на концах отрезка, либо внутри него. Используя производную 1-го порядка, найдем критические точки функции на интервале : ; . Точка  не принадлежит рассматриваемому промежутку. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка: ; ; . Из полученных значений выбираем наибольшее и наименьшее. Таким образом, наибольшее значение функции на данном отрезке , а наименьшее значение функции на отрезке . Следователь, сумма наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке равна 3,5.

Задание N 4. Материальная точка движется прямолинейно по закону . Тогда скорость точки в момент времени  равна …

Варианты ответа: 18,5 Ответ неверный! Скорость движения точки  определяется как производная от пути  по времени: . Тогда её скорость в момент времени  равна . 20 19 Ответ неверный! Скорость движения точки  определяется как производная от пути  по времени: . Тогда её скорость в момент времени  равна . 11 Ответ неверный! Скорость движения точки  определяется как производная от пути  по времени: . Тогда её скорость в момент времени  равна .

Дифференциальное и интегральное исчисление / Приложения дифференциального исчисления ФОП

Задание N 4. Угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции  в его точке с абсциссой , равен …

Варианты ответа: 3 Ответ неверный! Угловой коэффициент касательной k, проведённой к графику функции  в точке с абсциссой , равен значению производной этой функции в точке , то есть . 5 17 Ответ неверный! Угловой коэффициент касательной k, проведённой к графику функции  в точке с абсциссой , равен значению производной этой функции в точке , то есть . 4 Ответ неверный! Угловой коэффициент касательной k, проведённой к графику функции  в точке с абсциссой , равен значению производной этой функции в точке , то есть .

Дифференциальное и интегральное исчисление / Приложения дифференциального исчисления ФОП
Задание N 4. Функция  определена на промежутке . На рисунке изображен график ее производной. Тогда функция  убывает на промежутке …	Варианты ответа:

Решение:

Функция  убывает на промежутке, если ее производная отрицательна всюду на этом промежутке, за исключением конечного числа точек, в которых функция непрерывна. А так как на рисунке изображен график производной функции, то таких промежутков два. Следовательно, функция убывает на промежутках: .