Построение эпюры напряжений
С помощью интегралов Генки (1) вычислим напряжения в узловых точках на жёсткопластической границе.
Двигаемся от точки
0,0 к 0,5 вдоль линии скольжения. Перед
правой частью уравнения (1) ставится
знак «+», поскольку касательная к линии
скольжения поворачивается против
часовой стрелки. Угол
.
.
Двигаемся от точки
0,5 к 1,5 вдоль линии скольжения. Перед
правой частью уравнения (1) ставится
знак «–», поскольку касательная к линии
скольжения поворачивается по часовой
стрелке. Угол
.
Двигаемся от точки
1,5 к 1,6 вдоль линии скольжения. Перед
правой частью уравнения (1) ставится
знак «+», поскольку касательная к линии
скольжения поворачивается против
часовой стрелки. Угол
.
Двигаемся от точки 1,6 к 2,6 вдоль линии скольжения. Перед правой частью уравнения (1) ставится знак «-», поскольку касательная к линии скольжения поворачивается по часовой стрелке. Угол .
Двигаемся от точки 2,6 к 3,6 вдоль линии скольжения. Перед правой частью уравнения (1) ставится знак «-», поскольку касательная к линии скольжения поворачивается по часовой стрелке. Угол .
Двигаемся от точки 3,6 к 4,6 вдоль линии скольжения. Перед правой частью уравнения (1) ставится знак «-», поскольку касательная к линии скольжения поворачивается по часовой стрелке. Угол .
Двигаемся от точки 4,6 к 5,6 вдоль линии скольжения. Перед правой частью уравнения (1) ставится знак «-», поскольку касательная к линии скольжения поворачивается по часовой стрелке. Угол .
Двигаемся от точки 5,6 к 6,6 вдоль линии скольжения. Перед правой частью уравнения (1) ставится знак «-», поскольку касательная к линии скольжения поворачивается по часовой стрелке. Угол .
Таблица 1 - Напряжения в узловых точках на жёсткопластической границе
(m,n) |
|
|
0,5 |
-2,57k |
-2,57k |
1,6 |
-3,198k |
-3,198k |
2,6 |
-3,512k |
-3,821k |
3,6 |
-3,826k |
-4,414k |
4,6 |
-4,14k |
-4,949k |
5,6 |
-4,454k |
-5,405k |
6,6 |
-4,768k |
-5,768k |
Построение годографа скоростей
Приёмы построения
годографа скоростей рассмотрим для
построенного поля линий скольжения при
сжатии длинной полосы плоскими
шероховатыми (
).
Построение основано на свойстве
ортогональности линий скольжения и
отображении на годографе.
Анализируется узловая точка, которая является точкой контакта жёстких зон (6,6). Она лежит на пересечении жёсткопластических границ. В этой точке всегда известно направление и величина скорости движения жёстких зон, а также известно направление, по которому эта скорость будет раскладываться.
Вектор скорости
перемещения жёстких зон изображают в
масштабе поля линий скольжения. Примем
.
Условно полагаем, что нижняя плита
остаётся неподвижной. Вертикальная
скорость перемещения верхней жёсткой
зоны с плитой в точке 6,6 мгновенно меняет
своё направление на горизонтальное
вдоль оси Ох. Металл начинает течь влево
и вправо.
Годограф начинают строить из произвольной точки, называемой полюсом годографа. Из неё в масштабе откладываем вектор скорости
.
Исходя из условия постоянства объёма, а также зная в точке 6,6 направление линии скольжения, проводим из начала и конца вектора прямые - касательные к линям скольжения.
Эти прямые
пересекутся в точке
.
Отрезок
- касательная составляющая скорости
перемещения на линии скольжения
.
Величина касательной составляющей в
точке
определяется из геометрического
соотношений:
- величина разрыва касательной составляющей
скорости вдоль жёсткопластической
границы. Вертикальная и горизонтальная
составляющая по построению равны.
Касательная составляющая скорости должна быть постоянна вдоль
,
т.е. концы вектора касательных составляющих
должны лежать на дуге окружности с
центром в точке
,
радиусом
.
- нормальные
составляющие.
Таким образом, условие непрерывности и равенства касательных составляющих соблюдается.
- заменим линии хордами;
- из точки 5`,6` под прямым углом к 5`,6`-6`,6` проводим отрезок до пересечения с осью симметрии – точка 5`,5`;
- под прямым углом к отрезку 5`,5`-5`,6` проводим прямолинейный отрезок;
- из точки 4`,6` под прямым углом к 4`,6`-5`,6` проводим отрезок до пересечения;
- точку пересечения нумеруем – 4`,5`;
- под прямым углом к отрезку 4`,5`-4`,6` проводим прямолинейный отрезок;
- из точки 3`,6` под прямым углом к 3`,6`-4`,6` проводим отрезок до пересечения;
- точку пересечения нумеруем – 3`,5`;
- под прямым углом к отрезку 3`,5`-3`,6` проводим прямолинейный отрезок;
- из точки 2`,6` под прямым углом 2`,6`-3`,6` проводим отрезок до пересечения;
- точку пересечения нумеруем – 2`,5`;
- под прямым углом к отрезку 2`,5`-2`,6` проводим прямолинейный отрезок;
- из точки 1`,6` под прямым углом к 1`,6`-2`,6` проводим отрезок до пересечения;
- точку пересечения нумеруем – 1`,5`;
- из точки 1`,5` под прямым углом к 1`,5`-1`,6` проводим отрезок до пересечения с нижней плитой – точка 0`,5`;
- из точки 4`,5` под прямым углом к 4`,5`-5`,5` проводим отрезок до пересечения с осью симметрии;
- под прямым углом к отрезку 4`,4`-4`,5` проводим прямолинейный отрезок;
- из точки 3`,5` под прямым к 3`,5`-4`,5` углом проводим отрезок до пересечения;
- точку пересечения нумеруем – 3`,4`;
- под прямым углом к отрезку 3`,4`-3`,5` проводим прямолинейный отрезок;
- из точки 2`,5` под прямым углом к 2`,5`-3`,5` проводим отрезок до пересечения;
- точку пересечения нумеруем – 2`,4`;
- под прямым углом к отрезку 2`,4`-2`,5` проводим прямолинейный отрезок;
- из точки 1`,5` под прямым углом к 2`,5`-1`,5` проводим отрезок до пересечения;
- точку пересечения нумеруем – 1`,4`;
- под прямым углом к отрезку 1`,4`-1`,5` проводим прямолинейный отрезок;
- из точки 0`,5` под прямым углом к 1`,5`-0`,5` проводим отрезок до пересечения;
- точку пересечения нумеруем – 0`,4`;
- из точки 3`,4` под прямым углом к 3`,4`-4`,4` проводим отрезок до пересечения с осью симметрии – точка 3`,3`;
- под прямым углом к отрезку 3`,3`-3`,4` проводим прямолинейный отрезок;
- из точки 2`,4` под прямым углом к 2`,4`-3`,4` проводим отрезок до пересечения;
- точку пересечения нумеруем – 2`,3`;
- под прямым углом к отрезку 2`,3`-2`,4` проводим прямолинейный отрезок;
- из точки 1`,4` под прямым углом к 1`,4`-2`,4` проводим отрезок до пересечения;
- точку пересечения нумеруем – 1`,3`;
- под прямым углом к отрезку 1`,3`-1`,4` проводим прямолинейный отрезок;
- из точки 0`,4` под прямым углом к 0`,4`-1`,4` проводим отрезок до пересечения;
- точку пересечения нумеруем – 0`,3`;
- из точки 2`,3` под прямым углом к 2`,3`-3`,3` проводим отрезок до пересечения с осью симметрии – точка 2`,2`;
- под прямым углом к отрезку 2`,2`-2`,3` проводим прямолинейный отрезок;
- из точки 1`,3` под прямым углом к 1`,3`-2`,3` проводим отрезок до пересечения;
- точку пересечения нумеруем – 1`,2`;
- под прямым углом к отрезку 1`,2`-1`,3` проводим прямолинейный отрезок;
- из точки 0`,3` под прямым углом к 0`,3`-1`,3` проводим отрезок до пересечения;
- точку пересечения нумеруем – 0`,2`;
- из точки 1`,2` под прямым углом к 1`,2`-2`,2` проводим отрезок до пересечения с осью симметрии – точка 1`,1`;
- под прямым углом к отрезку 1`,1`-1`,2` проводим прямолинейный отрезок;
- из точки 0`,2` под прямым углом к 0`,2`-1`,2` проводим отрезок до пересечения;
- точку пересечения нумеруем – 0`,1`;
- из точки 0`,1` под прямым углом к 0`,1`-1`,1` проводим отрезок до пересечения с осью симметрии – точка 0`,0`.
Поскольку соблюдён масштаб при выборе величины вектора скорости перемещения жёстких зон, то построенный годограф скоростей геометрически идентичен полю линий скольжения, но развёрнут на 180º. Луч, проведённый из полюса в любую узловую точку годографа является вектором скорости перемещения этой точки в поле линий скольжения.
Сравнивая поле линий скольжения и годограф скоростей мы убеждаемся, что они совместимы поскольку потоки перемещений массы металла в горизонтальном и вертикальном направлениях равны.
Это равенство удовлетворяет кинематическим условиям, говорит о правильности построения поля линий скольжения, что позволяет получить действительные значения напряжений и усилий деформирования.