Степенные ряды.

C₀+C₁X+C₂X²+…+C_nXⁿ..-степенной ряд (*)

Св-ва: 1)Т. Абеля: 1)Если степенной ряд сходится при значении X=X₀≠0, то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях Х таких что |Х|<|X₀|, 2)Если степенной ряд расходится при Х=Х₁, то он расходится при всех значениях Х таких что |Х|>|Х₁|.

Д: 1)По условию ряд (*) сходится при Х=Х₀≠0, следовательно, выполняется необходимый признак сходимости Lim_nU_n=Lim_nC_nX₀ⁿ=0. Значит последовательность |C_nX₀ⁿ| Оганичена, т.е. сущ. Такое число М>0, что для всех n выполняется неравенство |C_nX₀ⁿ|<M. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величинчленов ряда(*)

|С₀|+ |C₁X₀||Х/X₀|+…+ |C_nX₀ⁿ||X/X₀|ⁿ+…(1). Члены ряда (1) меньше соответствующих членов ряда М+М|Х/X₀|+…+М|X/X₀|ⁿ+… представляющего геометрический ряд, к-й сходится, когда его знаменатель q=|X/X₀|<1, т.е. при|X|<|X₀|, на основании признака сравнения ряд (*) сходится. 2)Предположим противное, т.е. при|X|>|X₁| ряд (*) сходится. Тогда по доказанному выше он должен сходится и в точке Х₁ (т.к. |X|>|X₁|), что противоречит условию.

Из теоремы Абеля следует, что сущ. Такое число R≥0, что при │Х│<R ряд сходится, а при │Х│>R – расходится. Число R получило название радиуса сходимости, а интервал (-R;R)-интервала сходимости степенного ряда. Ряд U₁+U₂+..+Un+.. называется функциональным, если его члены являются функциями от Х. Рассмотрим функциональный ряд U₁(Х)+U₂(Х)+..+Un(Х)+...(1) Совокупность тех значений Х, при которых функциональный ряд сходится, называют областью сходимости этого ряда.

Обозначим через S_n(Х) сумму первых n членов ряда (1). Если этот ряд сходится и сумма его равна S(x), то S(x)=S_n(x)+r_n(x), где r_n(x) есть сумма ряда U_n+1(x)+U_n+2(x) +…, т.е. r_n(x)= U_n+1(x)+U_n+2(x) +… В этом случае величина r_n(x) называется остатком ряда (1). Для всех значений Х в области сходимости ряда имеет место соотношение Lim_n→∞ r_n(x)= Lim_n→∞[S(x)-S_n(x)]=0, т.е. остаток r_n(x) сходящегося ряда стремится к нулю при n→∞.

18

Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в  (a-R;a+R) и является суммой степенного ряда

f(x)= a₀+a₁(x-a)+a₂(x-a)²+…+a_n(x-a)ⁿ+…,       (27)

где (a-R;a+R) – интервал сходимости ряда (27). В этом случае говорят, что функция f(x) разлагается в степенной ряд в окрестности точки а или по степеням (x-a). Определим коэффициенты a₀, a₁, a₂, …, a_n,… ряда (27), для чего продифференцируем n раз ряд (27).

f(x)=a₀+a₁(x-a)+a₂(x-a)²+ a₃(x-a)³+ a₄(x-a)⁴+…+a_n(x-a)ⁿ+…

f’(x)=a₁+2a₂(x-a)+3a₃(x-a)²+ 4a₄(x-a)³+…+na_n(x-a)^n-1+…

f′′(x)=2a₂+3^.2a₃(x-a)+4^.3a₄(x-a)²+…+(n-1)na_n(x-a)^n-2+…

f′′′(x)=3^.2a₃+4^.3^.2a₄(x-a)+…+(n-2)(n-1)na_n(x-a)^n-3+…

…………………………………………

f⁽ⁿ⁾(x)=2^.3…(n-2)(n-1)na_n+…

…………………………………………

Все ряды имеют интервал сходимости (a-R;a+R). При x=a из полученных тождеств получаем f(a)=a₀, f’(a)=a₁, f’’(a)=2a₂, …, f⁽ⁿ⁾(a)= 2^.3…(n-2)(n-1)na_n, … . Отсюда находим коэффициенты степенного ряда (27): a₀=f(a), a₁=  a₂= , a₃= , …, a_n= , … . Подставляя полученные значения коэффициентов в ряд (27), получаем

 f(x)=f(a)+  (x-a)+  (x-a)²+…+  (x-a)ⁿ+… .       (28)

ряд (28) называется рядом Тейлора для функции f(x) в точке a. В частном случае при a=0 ряд (28) принимает вид

f(x)=f(0)+  +…+ +…            (29)

и называется рядом Маклорена.

Таким образом, если функция f(x) является суммой степенного ряда, то этот ряд называется рядом Тейлора для функции f(x).

Пусть теперь дана бесконечно дифференцируемая в точке a функция f(x). Составим для неё формально ряд Тейлора:

f(a)+  +…+ +… .

Совпадает ли сумма полученного ряда Тейлора с функцией f(x), для которой он составлен? Оказывается, не всегда. При каких условиях сумма ряда Тейлора совпадает с функцией, для которой он составлен? Рассмотрим n-ю частичную сумму ряда Тейлора

S_n(x)= f(a)+  +…+ .               (30)

Многочлен (30) называется многочленом Тейлора степени n. Разность R_n(x)=f(x)-S_n(x) называется остаточным членом ряда Тейлора. Приведём без доказательства следующую теорему.

23

 Обыкновенным дифференциальным уравнением n^го порядка называется уравнение вида:

 

                                                                    F(x, y, y^/ ,y^//,..., y⁽ⁿ⁾) = 0.      

Порядок, или степень дифференциального уравнения — наибольший порядок производных, входящих в него.

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные   до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием.

Общее решение дифференциального уравнения — функция наиболее общего вида, которая при подстановке в дифференциальное уравнениевида

обращает его в тождество.

Если каждое решение дифференциального уравнения представимо в виде:

где   — конкретные числа, то функция вида

при всех допустимых значениях параметров (неопределённых констант)   называется общим решением дифференциальногоуравнения. Частным решением дифференциального уравнения на интервале   называется каждая функция  , которая при подстановке в уравнение вида

обращает его в верное тождество на интервале  .

Зная общее решение однородного дифференциального уравнения и любое частное решение неоднородного уравнения, можно получить общее решение неоднородного уравнения в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного.

Коши для диф. уравнения n-го порядка - это нахождение такого решения, которое будет удовлетворять заданным начальным условиям.

24