Правило трапеций.
Пусть требуется вычислить интеграл
,
где.
Разобьем отрезок
на
равных частей точками
и с помощью прямых
построим
прямолинейных трапеций. Основания
-той
трапеции равны
,
,
высота
,
т.к. разбиение произвели на равные части.
Площадь
-той
трапеции равна
.
Сумму площадей этих
прямолинейных трапеций будем считать
приближенно равной площади данной
криволинейной трапеции. Итак,
- формула трапеций.
Погрешность
от применения формулы трапеций оценивается
по формуле:
,
где
- максимальное значение модуля второй
производной функции
на отрезке
,
т.е.
.
Правило парабол (Симпсона).
Идею, которая была использована при построении формулы трапеций, можно развивать дальше и использовать для получения более точных приближенных значений определенного интеграла. Например, если будем заменять график подынтегральной функции на отдельных отрезках не хордами, а дугами парабол с осями, параллельными оси Оу, то придем к формуле
- формула Симпсона.
10
Двойной интеграл от функции f (x,y) обозначается как
где R -
область интегрирования в плоскости
Oxy.
Если определенный интеграл 
от
функции одной переменной 
выражает
площадь под кривой f (x) в
интервале от x
= a до x
= b,
то двойной интеграл выражает объем под
поверхностью z
= f (x,y) выше
плоскости Oxy в
области интегрирования R
Двойной
интеграл от
функции f (x,y) в
прямоугольной области 
определяется
как предел суммы Римана, при котором
максимальные значения Δxi и Δyj стремятся
к нулю:
Чтобы определить двойной интеграл в произвольной области R, отличной от прямоугольной, выберем прямоугольник , покрывающий область R (рисунок 3), и введем функцию g (x,y), такую, что
Тогда двойной интеграл от функции f (x,y) в произвольной области R определяется как
11
ЧИСЛОВОЙ РЯД – бесконечная сумма членов бесконечной числовой последовательности {an} называется числовым рядом:
a1
+ a2+ a3 +
… + an+
… =
.
Пусть 
—
последовательность чисел.
Число 
называется n-ой
частичной суммой ряда 
.
Сумма
(числового) ряда —
это предел частичных сумм Sn,
если он существует и конечен. Таким
образом, если существует число 
,
то в этом случае пишут 
.
Свойства сходящихся рядов.
1. Если ряд сходится, то сходится любой из его остатков. Наоборот, из сходимости какого-то остатка вытекает сходимость всего ряда. Отсюда следует, что изменение или выбрасывание конечного числа членов ряда не изменяет его сходимости или расходимости.
2. Если
ряд 
сходится,
то 
.
3. Если
ряд
сходится,
то сходится ряд 
и
имеет место равенство
.
4. Если
ряды
и 
сходятся,
то сходится и ряд 
имеет
место равенство
.
5. Если
ряд
сходится,
то 
.
Отсюда следует
Признак
расходимости ряда.
Если 
,
то ряд
расходится.
Если ряд (97) сходится и его сумма равная S, то ряд
где 
–
произвольное действительное число, так
же сходится и его сумма равна
.
Теорема.
,
сходятся
и их суммы, соответственно равны 
и 
,
то ряды
,
также
сходятся и их суммы равные
соответственно 
и 
.
12
Если числовой ряд сходится, то разность Rn=S-Sn называется n-м остатком ряда.
Таким образом, Rn представляет собой сходящийся числовой ряд:
Rn= un+1+un+2+… .
Заметим, что 
Rn=
(
S-Sn)=S-S=0.
Необходимый
признак сходимости ряда. Если
ряд 
(1) сходится,
то его общий член 
стремится
к нулю, когда 
неограниченно
возрастает, т.е. 
.
Подчеркнем, что этот признак не является
достаточным, т.е. из стремления к нулю
общего члена нельзя еще сделать
заключение, что ряд сходится. Но если
общий член ряда не стремится к нулю, то
ряд расходится.
Теорема Ряд (1)сходится тогда и только
тогда,когда сх.его остаток.
Необходимое условие сходимости
ряда: 
Гармонический
ряд 
расходится;
его частная сумма
(C -
постоянная Эйлера: C =
0,5772...; 
).
Обобщенный
гармонический ряд 
сходится
при 
расходится
при 
13
Теорема
осравнении.Пусть для всех 
и
пусть ряд 
- сходится. Тогда сходится ряд 
.
Теорема 2. Пусть 
для всех
и 
.
Тогда либо оба ряда
и
сходятся, либо они оба расходятся. (Т.е.
не может быть так, что один из них
сходится, а другой расходится).
Теорема (Признак
сходимости Даламбера).Пусть дан числовой
ряд (97) с положительными членами. Если
отношение (n+1)-го члена к n-му члену
при 
имеет
конечный предел, т.е.
, (112)
то
1) при 
<1 –
ряд сходится;
2) при >1 – ряд расходится.
14
Радикальный признак Коши
Снова
рассмотрим ряд 
с
положительными членами. Согласно
признаку Коши:
Если 
,
то ряд
сходится;
Если 
,
то ряд
расходится;
Если 
,
то вопрос о сходимости ряда
,
также как для признака Даламбера,
остается открытым.
Пусть для функции f(x) выполняется:
(функция
принимает только положительные значения)
(функция
монотонно убывает)f(n) = an
Тогда
ряд 
и
несобственный интеграл 
сходятся
или расходятся одновременно. Интегральный
признак Коши
15
Числовой
ряд вида u1-u2+u3-u4+…+ +(-1)n-1.un+…,
где un –
модуль члена ряда, называется
знакочередующимся числовым
рядом.Теорема (Признак
Лейбница). Если в знакочередующемся
ряде
(113)
члены таковы, что
(114)
и
(115)
то ряд (113) сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена.
Замечание. Теорема
Лейбница справедлива, если неравенства
(114) выполняются, начиная с некоторого
номера N.
Определение 5.1. Ряд
называется абсолютно
сходящимся,
если сходится ряд, составленный из
абсолютных величин его членов.
Теорема Римана.Если ряд сх.условно,то всегда можно переставить члены ряда так,что его сумма будет равна любому наперед заданному числу.
Определение 5.2. Сходящийся ряд
называется
условно сходящимся, если ряд
расходится.
16