![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Список вопросов по курсу математического анализа, 4 семестр
- •Функционал. Линейное нормированное пространство. Метрическое пространство. Топологическое пространство.
- •Вопрос 8. Определение метрического пространства. Примеры
- •Вопрос 9. Расстояния на множестве непрерывных функций
- •Вопрос 10. Сходимость в метрическом пространстве
- •Вопрос 11. Равномерная сходимость и сходимость в среднем
- •Вопрос 12. Замкнутые множества в метрическом пространстве, их свойства
- •Вопрос 13. Замыкание множества в метрическом пространстве
- •Вопрос 14. Открытые множества в метрическом пространстве
- •Вопрос 15. Полные метрические пространства
- •Вопрос 16.Примеры полных метрических пространств.
- •Вопрос 17. Топологические пространства
- •Вопрос 20. Пространство . Компактные множества в
- •Открытые и закрытые множества в .
- •Сходимость в .
- •Компактные множества в .
- •Вопрос 21. Непрерывные функции и отображения
- •Вопрос 22. Индуцированная топология . Теоремы о максимуме
- •Раздел 12. Элементы вариационного исчисления
Вопрос 15. Полные метрические пространства
Вспомним
материал первого семестра. Мы доказали
там критерий Коши существования предела
последовательности
:
существует
.
(это свойство называлось фундаментальностью
последовательности).
Тогда
же мы отметили, что если рассматривать
,
то полученный предел
может не принадлежать
(т.е. может оказаться иррациональным
числом). Это свойство мы отметим, как
полноту
и неполноту
,
соответственно. Мы также отметим, что
служит для
пополнением
(подразумевая пополнение по метрике
.
Рассмотрим
теперь произвольное метрическое
пространство
с
расстоянием
и назовем последовательность
фундаментальной
,
если
(Также последовательности называют
также последовательностями
Коши)
Теорема
1.
Если существует
;
,
то
- фундаментальная последовательность
Пусть
.
Тогда
.
Но
тогда
Определение . Множество точек метрического пространства называется ограниченным, если оно целиком содержится в некотором шаре этого пространства М.
Можно
сформулировать это определение в
равносильном виде: Для любой точки
множество расстояний
представляет собой ограниченное сверху
числовое множество (ограниченность
этого множества снизу очевидна:
).
Теорема 2. Если последовательность фундаментальна, то множество ее значений – ограниченное множество в .
Положим
=1
и рассмотрим определение фундаментальности,
согласно которому существует N=N(1) такие,
что для всех n, m>N(1) имеет место неравенство
.
Положим m=N+1 (оно больше, чем N). Тогда для
всех n>N имеем
.
Рассмотрим
множество чисел
.
Это – конечное множество и в нем имеется
наибольший элемент, который обозначим
r. Тогда для любого n имеем
.
Таким образом, все xn принадлежат шару с центром в точке xN+1 и радиусом R.
Основное определение. Метрическое пространство М называется полным, если в нем всякая фундаментальная последовательность имеет предел.
Вопрос 16.Примеры полных метрических пространств.
Числовая прямая .Её полнота известна из первого семестра
Пространствоn. Его полнота следует из того, что если
и
- фундаментальная последовательность, т.е.
, то это означает, что
, откуда
и, следовательно, для каждого
последовательность
- фундаментальная.
Ввиду
полноты
это означает, что
.
Следовательно,
.
Пространство
2 - полное. Напомним, что гильбертово пространство l2 состоит из бесконечных последовательностей
,
, i=1,2,…, обладающих свойством
x(i)2 < ∞
Расстояние в нём задано, как
Фундаментальность
последовательности означает, что
откуда,
как и выше, получаем, что для каждого
i,i=1,2,… последовательность
-
фундаментальная, поэтому для каждого
i=1,2,… существует предел
. Осталось доказать, что
Для
этого рассмотрим неравенство
/2
Из
него для любого
получим
/2.
В
этом неравенстве перейдём к пределу
при k
.
Так
как оно верно для любого
ряд
cходится и выполняется неравенство
/2,
что и означает, что
.
Таким
образом,
,
что означает что
.
Полнота пространства непрерывных на отрезке функций с метрикой, определяющей равномерную сходимость, следует из теоремы о том, что последовательность непрерывных функций, сходящаяся равномерно, имеет пределом непрерывную функцию.