6.Методика изучения многогранников в шк. Курсе математики. Теорма Эйлера для многогранников.

Изучение многогранников следует связать субъектным опытом школьников, поскольку с большинством многогр-в, а также с цилиндром, конусом и шаром они знакомы. Родовым понятием, как для призм, так и для пирамид является многогранник. Возможны различные подходы к введению этого подхода. Можно оставить его без определения на уровне представлений, которые сложились у учеников. Можно определить фигуры входящие в объект….. Можно определить многог-к как ограниченное тело, поверхность которого состоит из конечного угла числа многогранников, не формулируя при этом определение ограниченного тела и поверхности более целесообразное можно считать такой. Который рассматривается родословным понятием изучение многогранников сопровождается знакомыми правилами многог-в – платоновым тело. Существует 5 правильных выпуклых многогранников: правильный тетраэдр, куб, октаэдр (грани правильного треугольник, в каждой вершине четыре ребра сходятся), додекаэдр (грани правильные пятиугольники по 3 ребра в вершине), икосаэдр (грани правильный треугольник по 5 ребер в вершине).

Теорема Эйлера: вершина+грани-ребра=2

7. Равновеликость и равносоставленность многоугольников

Два многоугольника называются равновеликими, если их площади равны. Их можно разбить на одинаковые

Два многоугольника называются равносоставленными, если их можно разбить на одинаковое количество попарно равных многоугольников.

Очевидно, что равносоставленные многоугольники равновелики. Верно ли обратное? На этот вопрос отвечает

Теорема 11.1 (Бойяи-Гервина) Равновеликие многоугольники равносоставлены.

Для доказательства нам потребуются пять следующих лемм.

Лемма 1 (транзитивность равносоставленности). Два многоугольника, равносоставленные с третьим, равносоставленны между собой.

Лемма 2. Любые два параллелограмма с одинаковыми основаниями и высотами, проведенными к этим основаниям , равносоставлены.

Лемма 3. Любой треугольник равносоставлен с параллелограммом, имеющим то же основание и вдвое меньшую высоту.

Лемма 4. Два равновеликих треугольника равносоставены.

Лемма 5. Любой многоугольник (простой) равносоставлен с некоторым треугольником.

Доказательство теоремы Бойяи-Гервина.

Дано: многоугольник Ф₁ равновелик многоугольнику Ф₂.

Доказать: Многоугольники Ф₁ и Ф₂ равносоставленны.

Построим треугольник ∆₁ , равносоставленный с многоугольником Ф₁ (такой треугольник существует по лемме 5) и треугольник ∆₂ , равносоставленный с многоугольником Ф₂. Треугольники ∆₁ и ∆₂ равновелики. По лемме 4 они равносоставлены. Получаем: Ф₁ равносоставлен с ∆₁ , ∆₁равносоставлен с ∆₂, а он равносоставлен с Ф₂. По лемме 1 (транзитивность равносоставленности) Ф₁ и Ф₂ равносоставленны.

8.

9.

10.