1. Предел суммы

Предел суммы равен сумме пределов, если каждый из них существует, т.е.

2. Предел разности

Предел разности равен разности пределов, если каждый из них существует, т.е.

3. Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

Односторо́нний преде́л в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (преде́лом спра́ва).

15 Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой сколь угодно малые изменения аргумента приводят к сколь угодно малым изменениям значения функции. Функция, непрерывная в каждой точке промежутка , называется непрерывной на промежутке. Если функция определена на промежутке , , то при исследовании поведения функции в окрестности точки имеет смысл говорить о пределе функции  в точке справа, а при исследовании в окрестности точки - о пределе функции в точке слева.

Если хотя бы одно из равенств нарушается, говорят о разрыве в точке . Если  и односторонние пределы конечны, то разрыв в точке называется устранимым. Если и оба односторонние пределы конечны, то говорят о скачке функции в точке . Устранимый разрыв и скачок называются разрывами первого рода. Если один из односторонних пределов бесконечен или не существует, то разрыв называется разрывом второго рода. Так же, как для предела и непрерывности, говорят о разрыве слева и разрыве справа.

16 Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел:

17 Определение: Пусть функция y=f(x) определена в точке x и в некоторой ее окрестности. Дадим аргументу x приращение x, такое, чтобы не выйти из указанной окрестности. Найдем соответствующее приращение функции y и составим отношение. Если существует предел этого отношения при x0, то указанный предел называют производной функции y=f(x) в точке x и обозначают f `(x).

18 Геометрический смысл производной Производная функции y = f(х) при х = xо равна угловому коэффициенту касательной к графику данной функции в точке Мо(хо, f(xо)), т. е.

где а — угол наклона касательной к оси Ох прямоугольной декартовой системы координат

19 Производная сложной функции Пусть   - функция, дифференцируемая в точке  ,  - функция, дифференцируемая в точке  , причем  . Тогда  - сложная функция независимого переменного , дифференцируема в точке    и ее производная в этой точке вычисляется по формуле   .

Обычно    называют внешней функцией, а - внутренней. При вычислении производной сложной функции сначала дифференцируют внешнюю функцию, не обращая внимания на внутреннюю (ведь она может быть любой), затем умножают на производную конкретной внутренней функции.

20 Дифференциал функции Функция называется дифференцируемой в точке , предельной для множества e, если ее приращение Δf(x0), соответствующее приращению аргумента X, может быть представлено в виде

Δf(x₀) = A(x₀)(x - x₀) + ω(x - x₀),     (1)

где ω(x - x₀) = о(x - x₀) при x → x₀.

Отображение , называется дифференциалом функции f в точке x₀, а величина A(x₀)h - значением дифференциала в этой точке.

Для значения дифференциала функции f принято обозначение df или df(x₀), если требуется знать, в какой именно точке он вычислен. Таким образом,

df(x₀) = A(x₀)h.

24

Метод замены переменной

Рассмотрим неопределенный интеграл F(x) некоторой функции f(x). Для упрощения вычисления интеграла часто удобно выполнить замену переменной. Переход от x к новой переменной u описывается выражением где x = g (u) - подстановка. Соответственно, обратная функция u = g −1(x) описывает зависимость новой переменной от старой. Важно иметь ввиду, что дифференциал dx должен быть заменен на дифференциал новой переменной du. Для определенного интеграла, кроме этого, необходимо также изменить пределы интегрирования. Смотрите об этом подробнее на странице

Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы

для неопределённого интеграла:

для определённого:

25 Определённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).

Данное выше определение интеграла при всей его кажущейся общности в итоге приводит к привычному пониманию определённого интеграла, как площади подграфика функции на отрезке.

Если непрерывна на отрезке и  — ее любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

26 Определение Предположим, что функция задана на бесконечном промежутке вида и интегрируема на любом конечном отрезке , где . Таким образом, можно рассмотреть функцию, зависящую от верхнего предела, как от переменной:

Если эта функция имеет предел при , то число называется значением несобственного интеграла первого рода:

а сам определенный интеграл называется сходящимся. Если же предела не существует, то интеграл называется расходящимся и не имеет никакого числового значения.

28 Числовой ряд — это числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда).

Признак Даламбера

Пусть − ряд с положительными членами. Тогда справедливы следующие свойства:

 Если , то ряд сходится;

 Если , то ряд расходится;

 Если , то ряд может как сходиться, так и расходиться. В этом случае для установления сходимости нужно использовать другие признаки.

Признаки Лейбница.

сходимости знакочередующегося ряда: если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают и стремятся к нулю то ряд сходится; при этом остаток ряда имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величине. Признак установлен Г. Лейбницем

29 Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:

в котором коэффициенты берутся из некоторого кольца .

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Ряд назван в честь английского математика Брука Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора — его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон.

Пусть функция бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки . Формальный ряд

называется рядом Тейлора функции в точке .

30 Ко́мпле́ксные^[1] чи́сла (устар. Мнимые числа^[2]), — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма , где и — вещественные числа, — мнимая единица^[3].

Поле комплексных чисел можно понимать как расширение поля вещественных чисел, в котором многочлен имеет корень. Следующие две элементарные модели показывают, что непротиворечивое построение такой системы чисел возможно. Оба приведенных определения приводят к изоморфным расширениям поля вещественных чисел , как и любые другие конструкции поля разложения многочлена .

(2)

      Запись вида (2) называется показательной формой комплексного числа.