10.12. Неявные функции

Если некоторая функция , зависящая от переменной , принимающей значения из множества числовой оси, задана формулой , причем правая часть не содержит переменную , то по определению функция задана явно.

Если для каждого значения переменной из множества найдется единственное значение переменной - такое, что , то получаем, что уравнение определяет зависимость от или неявную функцию , определенную на множестве .

В некоторых случаях уравнение однозначно разрешимо относительно , например, . Пример противоположного смысла дает уравнение . Это уравнение неоднозначно разрешимо относительно . К примеру, функциями, неявно определенными этим уравнением, являются , , определенные на множестве . Если наложить дополнительные условия, которым должна удовлетворять неявная функция, заданная уравнением , то может случиться, что такая функция будет единственной. Например, если потребовать, чтобы неявная функция была неотрицательна и определена на отрезке . Таким условиям удовлетворяет функция .

Другим дополнительным может быть следующим. Пусть точка такова, что ее координаты удовлетворяют уравнению , то есть , и - окрестность, не пересекающаяся осью (см. рисунок 10.5). Тогда единственной неявной функцией будет та, график которой принадлежит с областью определения .

Рисунок 10.5

Если уравнение не разрешимо однозначно относительно , то неявную функцию приходится изучать с помощью функции двух переменных. Часто условия существования неявной функции на множестве , которому принадлежит некоторая точка , содержит требования непрерывности функции в точке , , возрастание или убывание по функции при каждом фиксированном значении .

Теорема 10.18. Пусть задано уравнение

,

причем для функции частные производные , непрерывны в некоторой окрестности точки и , . Тогда существует квадрат (см. рисунок 10.6)

и одна и только одна функция , определенная и непрерывная на множестве такая, что и для любого .

Рисунок 10.6

Таким образом, сформулированная теорема дает достаточные условия существования неявной функции, заданной уравнением и определенной в некоторой окрестности точки .

Пример. Рассмотрим уравнение

.

Положим: . , . Функции , как многочлены непрерывны в любой точке. Выбрав , , получим:

, .

Условия теоремы выполняются, следовательно, существует одна и только одна функция , непрерывная в окрестности точки , удовлетворяющая условию и заданному уравнению.

Для данного примера можно найти эту функцию, существование которой установлено, если решить данное уравнение относительно :

, , .

Получили, что . В качестве окрестности точки можно взять множество . Ясно, что и для любого .

Рассмотрим теперь вопрос о производной неявной функции.

Теорема 10.19. Пусть выполняются условия предыдущей теоремы. Тогда неявная функция , заданная уравнением , имеет производную в точке интервала , которая выражается формулой

.

Доказательство. Пусть приращение таково, что . Тогда в точке определено приращение функции , где . Отсюда . В силу утверждения предыдущей теоремы

, .

Тогда для приращения функции имеет место равенство

.

В силу условий функция дифференцируема в точке и

,

где и стремятся к нулю при и . С использованием представления приращения функции получаем равенство

.

Преобразуем это равенство:

,

,

.

Поскольку функция непрерывна в точке , то при . Следовательно, функции и стремятся к нулю при . Тогда

.

Поскольку конечный предел отношения приращений функции и аргумента существует, то неявная функция имеет производную в точке и верна формула

.

Теорема доказана.

Если функция дважды дифференцируема в (см. теорему 10.18), то и неявная функция в каждой точке интервала имеет вторую производную

.

Пример. Пусть неявная функция задана уравнением и соответствием между значением аргумента и функции:

, .

Найти значения первой и второй производных неявной функции в точке .

Пусть . Найдем частные производные.

, .

Применяя формулу для производной первого порядка, получим выражение для производной первого порядка и вычислим ее значение в указанной точке:

, .

Найдем выражение для производной второго порядка, применяя правила дифференцирования частного, сложной функции и учтя полученное выражение производной .

.

Вторым искомым значением будет

.

Рассмотрим случай неявной функции двух переменных.

Пусть функция трех переменных определена в некоторой пространственной области . Если для значений координат каждой точки области уравнение однозначно разрешимо относительно , то говорят, что в области определена неявная функция , заданная уравнением .

Вообще уравнение может и не определять никакой функции, а может определять множество функций. Например, уравнение при любых значениях не разрешимо относительно и не определяет неявной функции. Напротив, уравнение для любой точке круга не однозначно разрешимо относительно и задает, к примеру, функции , , определенные в круге .

Сформулируем достаточные условия существования и единственности неявной функции двух переменных.

Теорема 10.20. Пусть в уравнении

функция в некоторой окрестности

точки обладает непрерывными частными производными , , . Предположим также, что , . Тогда существует куб

и единственная функция , которая определена и непрерывна в квадрате (см. рисунок 10.7), и такая, что и для любой точки .

Рисунок 10.7

В условиях этой теоремы неявная функция , определенная уравнением , имеет в каждой точке частные производные первого порядка, которые можно вычислить по формулам

, .