10.9. Дифференцируемые функции. Дифференциал

Пусть функция определена в некоторой окрестности , приращения и таковы, что точка . Приращение

определено в окрестности .

Функция называется дифференцируемой в точке , если существуют такие числа и , что в окрестности имеет место представление

,

где некоторая функция переменной , являющаяся бесконечно малой более высокого порядка, чем при .

Вообще говоря, функцию можно понимать как функции, зависящую от переменных и .

Пример. Пусть , а - произвольная фиксированная точка. Найдем приращение функции в этой точке.

.

В полученном выражении приращения , , а в качестве функции можно взять . Действительно, из того, что следует, что одновременно , . Далее

при .

Без доказательства приведем различные виды функции .

а) , где есть функция переменных и такая, что при ;

б) , где есть функции переменных и такие, что при .

В приращении линейная функция переменных и называется дифференциалом функции в точке и обозначается символом :

.

Часто используются и такие обозначения дифференциала функции в точке :

, , , .

Поскольку и , то .

Рассмотрим важные свойства дифференцируемых функций.

Теорема 10.14. Пусть функция дифференцируема в точке и , Тогда существуют и , причем

, .

Доказательство. В силу дифференцируемости справедливо представление

.

Отсюда при получаем частное приращение . Тогда

,

так как при . Показали существование частной производной функции по переменной в точке и равенство .

Аналогично устанавливается существование частной производной функции по переменной и справедливость второго равенства утверждения теоремы. Теорема доказана.

Из теоремы следует, что для дифференцируемой в точке функции имеет место формула

.

Теорема 10.15. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Стремление величины к нулю равносильно тому, что одновременно и . В силу определения дифференцируемой в точке функции в некоторой окрестности точки имеем представление

.

причем при . Тогда

.

Равенство предела приращения функции в точке означает непрерывность функции в этой точке. Теорема доказана.

Вообще из непрерывности не следует дифференцируемости функции. Рассмотрим пример функции . Как элементарная функция эта функция непрерывна в любой точке плоскости и, в частности, в точке . Однако эта функция не имеет частных производных в точке . К примеру, рассмотрим отношение частного приращения функции в точке по переменной к .

.

Следовательно, предела отношения не существует и не существует частной производной по переменной в точке . Если предположить, что данная функция дифференцируема в точке , то получим противоречие с утверждением теоремы 10.14.

Теорема 10.14 дает необходимое условие дифференцируемости. Достаточные условия дифференцируемости функции приведем в следующей теореме, которую оставим без доказательства.

Теорема 10.16. Пусть функция в некоторой окрестности имеет частные производные , , которые непрерывны в точке . Тогда функция дифференцируема в точке .

Рассмотрим свойства дифференциала. Предположим дифференцируемость функций и в точке . Тогда справедливы следующие равенства.

а) , если есть постоянная функция;

б) ;

в) . Как частный случай этого равенства имеем: , если есть постоянная величина, не зависящая от точки ;

г) , если .

Доказательство. Ограничимся доказательством свойства в) и при доказательстве применим формулу для дифференциала.

.

Если положить и учесть равенство , то получим частный случай: . Свойство доказано.