10.8. Частные производные функции нескольких переменных
Пусть
точка
является внутренней для области
,
в которой определена функция
.
По определению величина
есть приращение
функции
в точке
по переменной
.
Величину
рассматриваем как функции переменной
.
Для краткости эту величину будем
обозначать символами
,
или
.
Если существует предел
,
то он называется частной производной функции по переменной в точке .
Для такой частной производной также применяются обозначения
,
,
,
и
,
.
Отметим, что частная производная есть обычная производная функции , если понимать эту функцию как функцию одной переменной при фиксированных значениях переменной .
Совершенно аналогично определяется частная производная функции по переменной . Приведем основное. Частная производная по переменной есть предел
,
где
есть приращение
функции
в точке
по переменной
.
Обозначения:
,
,
,
и
,
.
Производная есть обычная производная по переменной , если функцию понимать как функцию только переменной .
Производные и называются частными производными первого порядка функции в точке .
Выясним геометрический смысл частных производных первого порядка.
Пусть
существует производная
,
а
,
,
- уравнение поверхности
(см. рисунок 10.4).
Рисунок 10.4
Пусть
кривая
является сечением поверхности
плоскостью
.
В этой плоскости в точке
,
где
,
проведем касательную прямую. Тогда для
угла
наклона касательной к оси
имеем
.
В этом и состоит геометрический смысл
частной производной
.
Определим теперь частные производные функции порядков выше первого.
Если
функция
в каждой точке
области
имеет производные
,
,
то их можно рассматривать как новые
функции и вычислять их частные производные.
Такие производные называются частными
производными функции
второго порядка в точке
.
Приведем это определение для всех
частных производных второго порядка.
,
,
,
.
Производные
и
называются смешанными производными
второго порядка функции
в точке
.
Приведем и другие обозначения частных производных второго порядка:
,
,
,
.
Вообще,
частной производной
- го порядка функции
в точке
называется производная по какой-нибудь
переменной от некоторой производной
- го порядка. Частная производная порядка
,
взятая по различным переменным, называется
смешанной производной порядка
.
Например, если
есть производная второго полрядка, то
или
есть частная производная третьего
порядка. Выражение
,
,
означает частную производную, которая
получается дифференцированием
раз по переменной
,
потом
раз по переменной
,
наконец,
раз по переменной
.
Пример.
Вычислить значение смешанной производной
третьего порядка
в точке
,
если
.
Сначала найдем производную в произвольной точке.
,
,
.
Теперь вычислим значение производной в заданной точке.
.
При достаточно общих условиях результат дифференцирования по различным переменным не зависит от выбора порядка переменных, по которым происходит дифференцирование.
Теорема
10.13.
Если функция
определена вместе со своими частными
производными
,
,
и
в некоторой окрестности точки
и производные
и
непрерывны в этой точке, то
.
Доказательство.
Рассмотрим приращение функции
по переменной
.
.
Переставим местами средние слагаемые:
.
Получили равенство повторных приращений
.
Введем
новую функцию
.
Тогда
.
Применим формулу конечных приращений Лагранжа
,
.
Поскольку
,
то, применив формулу конечных приращений
Лагранжа к функции
,
получим:
,
.
Аналогично,
,
,
.
В
силу равенства повторных приращений
и
имеем:
.
Отсюда
при
и
.
Перейдя
к пределу при
,
в последнем равенстве, в силу непрерывности
смешанных производных в точке
получим:
.
Теорема доказана.
Эта теорема распостраняется на любые непрерывные смешанные производные, которые отличаются друг от друга только порядком дифференцирования. Приведем пример.
.