10.7. Непрерывность функции нескольких переменных в области

Установим два важных свойства функций, непрерывных на ограниченном замкнутом множестве. Эти свойства являются обобщениями соответствующих свойств непрерывных функций от одной переменной, заданных на отрезке.

Теорема 10.11. Функция , непрерывная на замкнутом ограниченном множестве , ограничена на нем.

Доказательство. Допустим противное утверждению теоремы: функция не ограничена на множестве . Тогда для любого натурального найдется такая точка , что верно неравенство

,

и тогда .

Полученная последовательность ограничена. Из этой последовательности можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к некоторой точке . Всякая окрестность точки содержит точки области . Поэтому точка является либо внутренней точкой области , либо ее граничной. А поскольку область по условию замкнутая, то . В силу непрерывности функции на области . Так как конечное число, то имеем противоречие с тем, что допустили. Теорема доказана.

Говорят, что функция достигает на некотором множестве своей точной верхней грани (точной нижней грани ), если найдется такая точка , что ( ). Также можно сказать, функция на множестве достигает в точке своего максимума, равного , или достигает своего минимума, равного .

Теорема 10.12. Функция , непрерывная на замкнутом ограниченном множестве , достигает на нем своего максимума и минимума.

Доказательство. Из последней теоремы следует, что множество значений функции , определенной на множестве , ограничено как сверху, так и снизу. Поэтому это множество обладает точной верхней гранью и точной нижней гранью . Из свойства точной верхней грани следует, что для любого натурального числа найдется точка такая, что

.

Полученная последовательность ограничена. Из этой последовательности можно выделить подпоследовательность , которая сходится к некоторой точке . В силу замкнутости области точка и поскольку функция непрерывна на , то . Для подпоследовательности имеем:

.

Предельный переход в этом двойном неравенстве при приводит к тому, что . Последнее равенство записывается в виде .

Аналогично доказывается существование точки такой, что . Теорема доказана.

Пример. Покажем, что функция на множестве достигает своей точной верхней грани и точной нижней грани.

Для исследования прейдем к полярным координатам: , . Тогда

.

.

Какова бы ни была точка , выполняются неравенства , . Поэтому функция ограничена: . Следовательно, ограничена исходная функция, .

При и функция принимает свое максимальное значение, равное 1. Если и , то величина принимает свое наименьшее значение, равное . Приведенным значениям и соответствуют и , при этих значениях переменных исходная функция принимает свое наименьшее значение .

Если рассматривать данную функцию на множестве , которое не является замкнутым, то придем к выводу о недостижимости функцией своей точной нижней грани .

Доказанные теоремы часто применяются в обосновании разрешимости экстремальных задач прикладного характера.