10.5. Повторный предел функции в точке

Ранее рассмотренные пределы функции в точке называются двойными пределами. Для изучения предела функции при изменении только одной независимой переменной и фиксированном значении другой переменной вводится понятие повторного предела.

При определении повторного предела будем рассматривать в качестве окрестности предельной точки квадрат

,

предполагая, что возможно функция не определена на отрезках прямых и . При фиксированном значении переменной функция становится функцией одной переменной . Для простоты считаем, что для области определения такой функции переменной точка является предельной. Пусть для любого фиксированного значения переменной , удовлетворяющего неравенствам , существует предел функции при , вообще говоря, зависящий от :

.

Пусть существует предел функции при . В таком случае по определению в точке существует повторный предел функции . Обозначение повторного предела:

.

В этом обозначении ( - фиксированное значение и ) называется внутренним пределом.

Аналогично определяется другой повторный предел , в котором внутренним является ( - фиксированное значение и ).

Пример. Вычислить повторные пределы функции в точке .

Вычисляем сначала внутренний предел, а затем внешний:

.

Аналогично получаем, что

.

Теорема 10.6. Пусть в точке существует двойной предел:

,

а также внутренние пределы в двух повторных пределах этой функции. Тогда существуют повторные пределы и , причем каждый из них равен .

Доказательство. Ограничимся доказательством существования повторного предела , причем для внутреннего предела положим .

В силу существования двойного предела для произвольного числа найдется такое число , что верно неравенство

для всех значений переменных и , удовлетворяющих неравенствам и . Фиксируем такое значение , для которого выполняется неравенство . Перейдем в неравенстве на функцию к пределу при . Так как функция при этом стремится к пределу , то получим неравенство

.

Тогда согласно определению имеем: . Отсюда с учетом условия следует

Теорема доказана.

В последнем рассмотренном примере показано существование и равенство двух повторных пределов. Покажем, что двойного предела функции из этого примера не существует.

Рассмотрим последовательность точек , где число произвольное, а при , и соответствующую последовательность значений функции:

.

При имеем последовательность , а при - последовательность . Каждая из последовательностей сходится к точке . Пределы значений функции, соответствующие этим последовательностям, различны (они равны и ). Следовательно, двойного предела функции в точке не существует. Таким образом, вообще из существования и равенства повторных пределов не следует существования двойного предела.

10.6. Непрерывность функции нескольких переменных в точке и в области

По определению функция непрерывна в точке , если она определена в некоторой полной окрестности и

.

Приведем эквивалентное определение непрерывности функции в точке.

Запишем координаты точек окрестности в виде , . По определению функция непрерывна в точке , если

.

Величина называется приращением функции в точке . Используют также записи приращения: , . Последний предел можно записать в виде

или .

Приведем примеры непрерывных в точке функций с обоснованием непрерывности.

Примеры.

1). Функция , является постоянной величиной, непрерывна в любой точке , поскольку .

2) Функция непрерывна в любой точке . Действительно,

.

Тогда

.

Если функция непрерывна в каждой точке области (открытой или замкнутой), то по определению эта функция непрерывна в области.

Рассмотрим свойства пределов функций двух переменных. Определение предела и непрерывности функций двух переменных дословно совпадает с определением предела и непрерывности для функции одной переменной. Все утверждения о свойствах пределов и непрерывности функций одной переменной, которые не учитывают упорядоченность точек, верны и для функций многих переменных. Приведем такие утверждения.

Теорема 10.7. Если функции и имеют конечный предел в точке , то функции , также имеют конечный предел в этой точке. Если , то функция имеет конечный предел в точке . Справедливы равенства

,

,

.

Более того, если функции и непрерывны в точке , то приведенные функции, полученные арифметическими действиями над функциями и , являются непрерывными в точке .

Большое значение имеет свойство сохранения знака функции нескольких переменных в окрестности точки, в которой существует конечный предел.

Теорема 10.8. Пусть функция имеет предел, не равный нулю в точке ,

.

Тогда существует окрестность такая, что для любой точки имеет место неравенство

.

Более того, функция в этой окрестности сохраняет знак числа : если , то , если , то .

Для непрерывной в точке функции и, если , то в окрестности функция имеет знак .

Пусть функция определена в области , а , - функции независимых переменных и , определенные в области . Предположим, что точка принадлежит области , а соответствующая точка , где , , принадлежит области . Тогда можно образовать функцию двух переменных и , определенную в области . Эта функция называется сложной функцией, устанавливающей зависимость значений переменной от значений переменных и посредством функций и .

Предположим, что точка является предельной для множества . Рассмотрим предел сложной функции при . В этой постановке задачи будем также использовать и краткую запись: рассмотрим предел сложной функции при , где как обычно .

Теорема 10.9. Пусть имеет смысл сложная функция . Если существуют конечные или бесконечные пределы

, ,

и конечный или бесконечный предел

,

где , , то существует и предел

сложной функции , причем

.

Последнее равенство называется формулой замены переменной для пределов функций.

Доказательство. Пусть - произвольная последовательность точек из области , сходящаяся к предельной точке этой области. В силу существования пределов функций , имеем две сходящиеся последовательности , с пределами соответственно и . Другими словами последовательность сходится к точке . В силу существования предела функции имеем: последовательность значений функции сходится к пределу . Таким образом, последовательность сходится к . В силу произвольности последовательности и по определению предела функции по Гейне имеем:

.

Теорема доказана.

Если функции и непрерывны в точке , а функция непрерывна в точке , где и , то

,

то есть сложная функция непрерывна в точке .

Если в условии теоремы функция непрерывна в точке , то

,

Что означает возможность перехода под знаком непрерывной функции.

Рассмотрим частные случаи образования сложной функции двух переменных, применения формулы замены и вопрос непрерывности сложной функции.

1) Пусть - функция одной переменной, а функция двух переменных определена в области и имеет значения, принадлежащие области определения функции . Тогда возможно образование сложной функции двух переменных, определенной в области . Если , то формула замены переменной в пределе имеет вид:

.

Если функция непрерывна в точке , функция - в точке , то сложная функция будет непрерывной точке .

2) Пусть - функция двух переменных, определенная в области , а функции и определены соответственно на множествах и , причем точка с координатами и принадлежит области . При таких условиях возможно образование сложной функции двух переменных и , определенной в области .

Формула замены переменных в пределе

.

Если функции и непрерывны соответственно в точках и , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке области .

Приведем примеры применения приведенных выше утверждений в вычислениях пределов функций.

Пример. Вычислить пределы.

1) .

Преобразуем выражение, записанное под знаком предела.

.

Пусть и . Поскольку

, ,

то с применением формулы замены переменных в пределе (см. теорему) получаем:

.

2) .

Положим: . Применим формулу замены переменных первого частного случая. При переменная величина также стремится к нулю. Выполним замену переменной в пределе и вычислим полученный предел.

.

Приведенные теоремы об арифметических действиях над непрерывными функциями, непрерывности сложной функции и частные случай, а также определение элементарной функции двух переменных являются обоснованием следующего утверждения.

Теорема 10.10. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке своей области определения.

Пример. Рассмотрим элементарную функцию . Областью определения функции является множество Функция непрерывна в каждой точке множества . Действительно, . Поскольку функция непрерывна в каждой точке области определения, то , где функция при . Получили, что . Следовательно, при и . Тогда сложная функция непрерывна в любой точке (первый частный случай). Функция непрерывна в любой точке (см. пример). Тогда произведение двух непрерывных функций является непрерывной функцией в любой точке множества .