10.4. Предел функции в точке

Проколотой - окрестностью точки называется множество . Для проколотой окрестности будем использовать также обозначение .

По определению точка является предельной для множества, если любая ее проколотая окрестность содержит хотя бы одну точку этого множества.

Пусть функция определена на некоторой области , точка является предельной точкой области . По определению число является пределом в точке или, что то же самое при , если какова бы ни была последовательность принадлежащая , сходящаяся к точке , соответствующая числовая последовательность значений функций сходится к числу .

Используют обозначения:

, , .

Приведем эквивалентные определения предела функции в точке.

1) Пусть функция определена в некоторой области , точка является предельной точкой области . Число называется пределом функции в точке или, что то же самое при , если для любого существует такое число , что для любой точки , для которой , выполняется неравенство

.

Первое определение и только что приведенное называются соответственно определениями по Гейне и по Коши. Равносильность их устанавливается также как и равносильность определений предела функции одной переменной по Гейне и Коши.

2) Координаты произвольной точки из множества можно записать в виде , при определенных значениях переменных и . Функцию можно рассматривать как функцию переменных и , предел функции в точке как предел функции в точке . Отсюда равносильность равенств

и .

Таким образом, последнее равенство можно принять за определение предела функции в точке .

Пример. Показать исходя из определения, что .

Следуя определению, рассмотрим модуль разности:

.

С учетом неравенств , , получаем:

.

Пусть произвольное число и пусть . Положим: или . Тогда из неравенства будет следовать

и, следовательно, по определению имеем: .

Пример. Показать, что при не существует предела функции .

Рассмотрим две последовательности , где , и , где ( при ). Для первой последовательности

при ,

для второй последовательности

, при .

Получили, что для различных последовательностей, стремящихся к одной точке, соответствующие последовательности значений функции имеют различные пределы. Согласно определению предела по Гейне данная функция не имеет предела в точке .

Рассмотрим случай бесконечного предела в конечной точке.

Имеем следующие определения:

а) означает, что для любого числа существует число такое, что для всех точек , для которых ;

б) означает, что для любого числа существует число такое, что для всех точек , для которых ;

в) означает, что для любого числа существует число такое, что для всех точек , для которых .

Каждому из приведенных определений соответствует эквивалентное определение в терминах приращений независимых переменных. Например, имеем равносильные равенства

и .

Рассмотрим случай предела в бесконечно удаленной точке.

Число называется пределом функции в бесконечно удаленной точке или, что то же самое при , если для любого существует такое число , что для любой точки , для которой , выполняется неравенство

.

Используется обозначение .