10.3. Понятие функции нескольких переменных
Пусть
- произвольное множество точек пространства
.
Если каждой точке
множества
поставлено в соответствие некоторое
число из множества действительных чисел
(см. рисунок 10.1), то говорят, что на
множестве
определена функция.
Пусть числовые переменные
и
принимают соответственно значения
первой и второй координат точек множества
,
числовая переменная
- значения, равные числам, которые
ставятся в соответствие точкам множества
.
Функцию, определенную выше, записывают
в виде
или
и называют функцией
двух независимых переменных
и
или аргументов
и
. Переменная
называется зависимой
переменной
или функцией.
Множество
называется областью
определения функции
,
а совокупность всех значений зависимой
переменной
- областью
значений.
Рисунок 10.1
Множеством обычно является открытая или замкнутая область.
Геометрическим
изображением функции
может служить поверхность
в пространстве c
прямоугольной декартовой системой
координат
.
Приведем примеры функций и их геометрические изображения.
Пример.
1) Пусть
,
.
Для данной функции выражение
определяет правило, по которому точка
сопоставляется числу
.
Областью значений функции является
множество
,
поверхность
- параболоид (см. рисунок 10.2).
Рисунок 10.2
Пример.
2)
.
Область
не задана. Областью определения функции
является область определения выражения
.
Она задается неравенством
или неравенством
.
Последнее неравенство определяет
замкнутый круг в координатной плоскости
.
Область значений функции есть отрезок
.
Поверхность
- верхняя половина сферы (см. рисунок
10.3).
1
1
Рисунок 10.3
Функция
по определению является элементарной
функцией, если выражение
предписывает выполнение конечного
числа только арифметических действий
над значениями переменных
,
и константами, а также конечного числа
операций, определяемых элементарными
функциями одной переменной.
Примеры.
1)
,
- целые функции или многочлены от двух
переменных соответственно 4-ой и 5-ой
степени.
2)
- дробно рациональная функция.
3)
- иррациональная функция.
4)
- трансцендентная функция.