Выполните следующие задания.

1. Даны три прямоугольные матрицы A, B и С, размера 3х4 (три строки, четыре столбца) и вектор f (матрица столбец) 4х1. Для простоты элементы матриц и вектора можно взять целочисленные.

Найти матрицу D = 2A - 3B + C.

Найти векторы d = Df, a = Af , b = Bf и c = Cf.

Проверить векторное равенство d = 2a – 3b + c.

2. Даны три невырожденные квадратные матрицы A,B,C третьего порядка.

Найти определители всех трех матриц.

Найти обратные матрицы A^-1,B^-1,C^-1. Проверить равенство

A^-1 _* А = Е.

Найти произведения (AB)C и A(BC). Проверить, что они совпадают.

Найти det(ABC) и проверить равенство

det(ABC) = detA∙det∙B∙detC

Найти произведение C^-1∙B^-1∙A^-1 и проверить равенство

(ABC)^-1 = C^-1 B^-1 A^-1

3. Составить таблицу, которая решает систему 4-х линейных алгебраических уравнений с 4-мя неизвестными Ax=b.

Воспользоваться формулами Крамера.

Воспользоваться формулой x = A^-1b.

В обоих вариантах решения задачи исходными данными являются элементы матрицы А и правой части b. При их изменении таблица автоматически должна найти решение новой системы.

4. Решить систему из трех уравнений с 2 неизвестными

   x +2y = 8

   3x+y = 10

   x – y = -1.

5. Количество вещества M, оставшегося в котле через t минут от начала производственного цикла, дается таблицей.

t	7	12	17	22	27	32	37
M	83,7	72,9	63,2	54,7	47,5	41,4	36,3

Начертить график данной зависимости и выяснить, на какую известную кривую она похожа. Составить эмпирическую формулу для зависимости величины M от времени t.

6. В газете «The Chicago Maroon» сообщается, что на оптовом рынке к началу 2007 года ожидаются следующие цены на марочные портвейны в расчете на бутылку вина.

год	цена	год	цена
1935	50	1986	12
1945	35	1989	7
1965	20	1993	8,98
1976	14	1995	6,98
1979	15	1997	4,99
1980	16	2000	5,98
1985	14	2001	3,5

Построить эмпирическую формулу для цен на марочное вино в зависимости от года закладки вина (возраста вина). Имея эмпирическую формулу, обоснованно назначить цену на вино, год закладки которого (1958) отсутствует в таблице.

Лабораторная работа №6. Microsoft Excel. Подбор параметра. Решение уравнений.

В лабораторной работе №4 мы узнали, что графическим способом можно найти приближенное решение уравнений. Графический способ нагляден, помогает уловить суть вопроса и выбрать направление дальнейших действий. Главный его недостаток при решении уравнений – это невысокая точность.

В численном анализе имеется множество различных алгоритмов приближенного решения уравнений, которые позволяют найти решение с очень высокой точностью. Однако в прикладных задачах не всегда требуется такая точность решения.

Среди сервисных программ Excel имеется программа, которая называется «Подбор параметра». Она позволяет решить практически любое уравнение вида f(x) = b с вполне приемлемой точностью.

Пример. Требуется решить уравнение 2^x + x = 25. Ясно, что данное уравнение имеет единственное решение, т.к. функция f(x) = 2^x + x всюду возрастает и f(0) = 1, f(4) = 20 < 25, f(5) = 37 > 25. Однако выразить решение аналитически невозможно.

Возьмем какое-либо значение аргумента x в ячейке A3, например x=3, и в ячейку B3 введем формулу для вычисления значения функции

Рис. 18.

Остается вызвать программу «Подбор параметра» в меню «Сервис» и в появившемся окне указать, что мы хотим установить (получить) в ячейке B3 значение 25, изменяя аргумент в ячейке A3. После нажатия «ОК» таблица найдет нужное значение аргумента, т.е. решит данное уравнение.

Рис. 19.

Таким образом, корнем нашего уравнения 2^x + x = 25 является число x=4,3669. При таком значении х вместо 25 получаем 25,0001559. Если это нас устраивает, можем на этом ограничиться.

Возникает вопрос: можно ли получит более точное решение? Оказывается можно. Для этого нужно выбрать меню «Сервис», «Параметры». На вкладке «Вычисления» имеется пункт «Относительная погрешность», где вместо 0.001 можно указать, например, 0.00001.

Важно запомнить!

1. Если уравнение имеет, как в нашем примере, единственное решение, то в качестве начального значения аргумента можно взять любое значение. Мы взяли x = 3.

2. Если корней уравнения несколько, то программа находит только один из них – тот, который ближе к начальному значению аргумента. Чтобы найти другие корни, надо изменить начальное значение.

3. Если уравнение не имеет корней, то программа выдаст сообщение «Решение не найдено».

4. В нашем примере значение функции вычисляется очень просто – понадобилась всего одна формула. Однако на практике вычисление значения функции через значение аргумента может оказаться достаточно сложным, т.е. возможно, что потребуется серия промежуточных вычислений. В окне «Подбор параметра» указываются лишь адреса двух ячеек – адрес аргумента и адрес ячейки, где вычислено окончательное значение функции.