Динамiка матерiальної точки

§1. Предмет динаміки. Маса

Динаміка - це розділ теоретичної механіки, в якому вивчаються закони механічного руху тіл під дією прикладених до них сил.

Основні закони динамiки були сформульованi I. Ньютоном у безсмертнiй працi ”Математичнi начала натуральної філософії” (1687 р.).

Маса - фiзична характеристика матерiальних об’єктiв, яка є мiрою їх iнерцiйних i гравiтацiйних властивостей. Виразником iнерцiйних властивостей тiла маса виступає в законах динаміки; виразником гравiтацiйних властивостей маса входить в закон тяжiння.

За І. Ньютоном маса тiл вимiрюється порiвнянням їх ваги на терезах з коромислом.

У одного тiла маса гравiтацiйна та маса iнерцiйна збiгаються.

Тiло з масою m має енергiю Е = mс² ( тут с = 3·10⁸ м/с - швидкiсть свiтла у вакуумi).

§ 2. Закони Ньютона

Перший закон Ньютона - закон інерції: будь-яке тiло продовжує зберiгати свiй стан спокою або рiвномiрного прямолiнiйного руху, поки i оскiльки його не спонукають змiнити цей стан прикладенi сили. Тут під термiном ”будь-яке тiло” треба розумiти матерiальну точку.

Перший закон стверджує динамiчну рiвноправнiсть стану спокою i рiвномiрного прямолiнiйного руху. Два стани - спокою i рiвномiрного прямолiнiйного руху - Ньютон розглядає як природнi стани всякого тiла. Здатнiсть тiл перебувати в цих природних станах i є те, що називається iнерцiєю тiл.

Закон iнерцiї справедливий тiльки вiдносно цiлком певної системи вiдлiку – ”iнерцiальної” системи. При розглядi бiльшостi технiчних задач iнерцiальною можна вважати систему, незмiнно пов’язану із Землею.

Другий закон - закон дiї сил: змiна кiлькостi руху матерiальної точки пропорцiональна до прикладеної рушiйної сили і вiдбувається в напрямку тiєї прямої, по якiй ця сила діє:

, (2.1)

де m - маса матерiальної точки , - її швидкiсть, - сила, яка прикладена до точки, k - коефiцiєнт пропорцiональностi.

В усiх системах одиниць вибiр одиниць вимiрювання сили i маси узгоджено в такий спосiб, що коефiцiєнт пропорціональності k дорiвнює безрозмiрнiй одиницi.

При m = const i d /dt = ( - прискорення матерiальної точки) маємо

m = . (2.2)

Рiвнiсть (2.2) читається так: у кожний момент часу добуток маси матерiальної точки та її прискорення дорiвнює рушiйнiй силi, а напрямок вектора прискорення збiгається з напрямком сили.

Рiвнiсть (2.2), яка виражає другий закон Ньютона, справедлива лише за умови, що рух матерiальної точки вiднесено до iнерцiальної системи вiдлiку.

Третiй закон - закон взаємодiї тіл: дiї завжди вiдповiдає рiвна їй i протилежно направлена протидiя; iнакше кажучи, - сили взаємодiї двох матерiальних точок завжди мiж собою рiвнi i направленi в протилежнi боки.

Третiй закон Ньютона стверджує, що в природi iснує тiльки взаємодiя тiл, причому дiя i протидiя за величиною рiвнi, а за напрямком протилежнi. Це справедливо і у випадку спокою, і у випадку руху тiл. Наприклад, Земля i камiнь, що падає на неї, є цiлком рiвноправними тiлами: сила притягання каменя до Землi дорiвнює силi притягання Землi до каменя. З цього i з рiвняння (2.2) випливає, що прискорення взаємодiючих тiл - Землi i каменя - обернено пропорцiональне їх масам.

Четвертий закон - закон незалежностi дiї сил: якщо на матерiальну точку дiють кiлька сил одночасно, то вони надають точцi такого складного руху, який кiнематично складається з рухiв, що їх кожна сила окремо здатна надати точці, що рухається без початкової швидкостi; якщо ж точка вже має певну швидкiсть i на неї дiє ще й сила, то рух точки кiнематично складається з руху за iнерцiєю i руху вiд дiї сили.

Математичний змiст принципу незалежностi дiї сил такий: при одночаснiй дiї на матерiальну точку сил i прискорення точки дорiвнюватиме геометричнiй сумi тих прискорень, якi були б при роздiльнiй дiї сил:

. (2.3)

Вiдомо, що геометрична сума прикладених до точки сил називається рiвнодiючою:

= + .

Тоді

m = .

Якщо на точку дiють одночасно декiлька сил, то другий закон Ньютона записують у виглядi:

. (2.4)