3.Вычисление оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения.
Несмещенной
оценкой математического ожидания
является выборочная средняя
,
а среднего квадратического отклонения
– исправленное среднее квадратическое
отклонение s, которое
равно квадратному корню из исправленной
дисперсии
.
Используя данные интервального ряда распределения, находим
(3)
(4)
Вернемся к таблице 1. В четвертом столбце этой таблицы вычисляем произведения . В последней k+1-ой строке этого столбца вычисляем значение по формуле (3). В пятом столбце таблицы 1 вычисляем , в шестом – квадрат этого модуля, а в седьмом – произведения . В последней строке седьмого столбца вычисляем значение по формуле (4) и, наконец, s.
Замечание. Значения в пятом, шестом и седьмом столбцах удобно вычислять одновременно для каждой строки.
4.Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины по критерию (критерий согласия Пирсона).
Критерием согласия называют критерий проверки статистической гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.
Критерий согласия Пирсона: для того, чтобы при заданном уровне значимости проверить гипотезу о том, что генеральная совокупность распределена нормально, надо вычислить теоретические частоты, а затем наблюдаемое значение критерия:
(5)
и по таблице
критических точек распределения
,
по заданному уровню значимости
и числу степеней свободы r=k-3
найти критическую точку
.
Если
- нет оснований отвергнуть выдвинутую
гипотезу, если же
- гипотезу отвергают.
В данной задаче
выдвинутая гипотеза состоит в том, что
теоретическое распределение нормально
с параметрами
,
s. Поэтому вероятность
того, что значения случайной величины
Х попадают в интервал
,
можно вычислить по формуле:
,
(6)
где – значения нормированной величины.
Вернемся к таблице
1. Чтобы вычислить
,
в восьмом столбце запишем значения
(по данным пятого столбца и значению
s). В девятом столбце
запишем найденные по таблице 2 значения
.
В десятом столбце вычислим значения
,
используя формулу (6). И в последнем,
одиннадцатом, столбце запишем значения
дроби
,
а в последней строке этого столбца –
значение
,
вычисленное по формуле (5).
Замечание. Во
всех интервалах должно быть
.
Если в каких-то интервалах данное условие
не выполняется, то эти интервалы надо
объединить с соседними. При этом в
объединенных интервалах, значения
и
полагают равными сумме соответствующих
значений в объединяемых интервалах.
Количество интервалов после объединения
становится равным
.
После того как
найдено значение
по таблице 4 критических точек распределения
находим значение величины
,
где
– число степеней свободы,
-
число интервалов после объединения,
-
принятый уровень значимости. Далее
сравниваем
и
.
Если
,
то гипотезу о нормальном распределении
исследуемой величины отвергаем. В
противном случае гипотеза не противоречит
опытным данным.
5.Построение кривой нормального закона распределения.
Если гипотеза о
нормальном распределении с параметрами
,
s не отвергнута, можно
построить кривую нормального распределения,
т.е. график плотности распределения
и сравнить его с гистограммой относительных
частот. Для этого на графике относительных
частот приближенно построим график
плотности в пяти точках:
1-ая точка:
(7)
2-ая точка:
(8)
3-ья точка:
(9)
4-ая точка:
(10)
5-ая точка:
(11)
Замечание.
Замечание. Ординаты второй, третьей, четвертой и пятой точек являются точками перегиба.
Соединяем полученные точки (учитывая перегибы) плавной линией.
6.Построение доверительных интервалов для математического ожидания и среднего квадратического отклонения с заданной надежностью.
Доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратического отклонения находим по формулам:
(12)
(13)
где
и
при заданной надежности
находим по таблицам 5 и 6.
Пример. Измерение величины износа 100 штук чугунных тормозных колодок за месяц дало следующие результаты (в мм):
13,2 |
13,8 |
14 |
14,2 |
13,8 |
14,1 |
13,8 |
14,1 |
13,5 |
13,3 |
13,6 |
14 |
13,5 |
14,3 |
13,7 |
13,3 |
14 |
13,7 |
13,7 |
13,8 |
13,8 |
14,2 |
13,7 |
14 |
13,6 |
13,6 |
14,2 |
13,9 |
13,8 |
13,7 |
14 |
14,3 |
13,1 |
13,7 |
13,5 |
13,4 |
13,4 |
13,8 |
14 |
14 |
14,2 |
14,2 |
14,4 |
13,9 |
13,2 |
13,7 |
13,7 |
13,5 |
13,7 |
13,6 |
14,4 |
13,1 |
13,9 |
13,5 |
13,4 |
14 |
13,8 |
13,3 |
14,1 |
13,5 |
13,7 |
13,6 |
13,6 |
13,5 |
13,8 |
13,9 |
13,7 |
13,6 |
13,8 |
13,8 |
13,9 |
13,5 |
13,7 |
13,8 |
13,9 |
13,3 |
13,6 |
13,7 |
14 |
13,9 |
13,4 |
14,1 |
13,5 |
14,2 |
14 |
13,8 |
13,4 |
14,2 |
13,7 |
14,3 |
13,4 |
13,8 |
13,4 |
13,5 |
14,2 |
13,7 |
13,9 |
13,9 |
13,4 |
13,2 |
Длина интервала h=0,2.
Провести статистическую обработку результатов измерения.